Кванторы. Вопрос30. Предикат. Множество истинности предиката. Кванторы общности существования. Виды формулировок теорем (прямая и обратная теоремы, теорема о необходимых и достаточных условиях) Кванторы общности и существования

Оператор, с помощью которого о к.-л. отдельном объекте преобразуется в высказывание о совокупности (множестве) таких объектов.
В логике используется два основных К.: К. общности, «V», и К. существования, «Э». В естественном языке отдаленными смысловыми аналогами К. общности являются слова «все», «любой», «каждый»; смысловыми аналогами К. существования - слова «некоторые», «существует». С помощью данных К. любое атрибутивное высказывание вида Р(х) о том, что объекту х присуще Р, может быть преобразовано в соответствующее кванторное высказывание вида VхР(х) и вида ЗхР(х). Содержательно сама кванторная формула «VxP(x)» читается как «для всех х имеет Р(х)», а формула «ЭхР(х)» - как «для некоторых х имеет место Р(х)». Высказывание вида VxP(x) истинно, если любой х обладает свойством Р; и ложно, если хотя бы один х не обладает свойством Р. Аналогичным образом, высказывание вида ЗхР(х) истинно, если хотя бы один х обладает свойством Р; и ложно, если ни один х не обладает свойством Р.
На основе элементарных кванторных формул «VxP(x)», «ЭхР(х)» могут быть построены др., более сложные кванторные формулы. Логические взаимосвязи между такими формулами изучаются в логике предикатов. В частности, формула «ЗхР(х)» логически эквивалентна формуле «) VxКВАНТОР| P(x)», а формула «VхР(х)» эквивалентна формуле «) Эх) Р(х)», где «)» - отрицания.
В неявной форме К. использовались уже Аристотелем, однако в строгом содержательном и формальном смысле они впервые были введены в логику Г. Фреге.

Философия: Энциклопедический словарь. - М.: Гардарики . Под редакцией А.А. Ивина . 2004 .

(от лат. quantum - сколько) , оператор логики предикатов, применение крого к формулам, содержащим лишь одну свободную переменную, даёт (высказывание) . Различают К. общности, обозначаемый символом (от англ. all - все) , и К. существования (от exist - существовать) : хР(х) интерпретируется (см. Интерпретация) как «для всех х имеет место свойство Р», а хР(х) - как «существует х такой, что имеет место свойство?(х) ». Если (универсум) конечна, то хР(х) равносильно конъюнкции всех формул Р(а) , где а - элемент предметной области. Аналогично, хР(х) равносильно дизъюнкции всех формул вида? (а) . Если же предметная область бесконечна, то xP(x) и хР(х) могут быть истолкованы соответственно как бесконечные и дизъюнкция. Введение К. в логике многоместных предикатов (т. е. неодноместных) обусловливает неразрешимость исчисления предикатов. Различные соотношения между К. общности и существования и логическими связками логики высказываний формализуются в исчислении предикатов.

Философский энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия . Гл. редакция: Л. Ф. Ильичёв, П. Н. Федосеев, С. М. Ковалёв, В. Г. Панов . 1983 .

(от лат. quantum - сколько) - логич. оператор, применяемый к логич. выражениям и дающий количеств. характеристику области предметов (а иногда и области предикатов), к к-рой относится получаемое в результате применения К. . В то как логич. средств логики высказываний недостаточно для выражения форм всеобщих, частных и единичных суждений, в логике предикатов, получаемой посредством расширения логики высказываний за счет введения К., такие суждения выразимы. Так, напр., четыре осн. формы суждений традиц. логики "Все А суть В", "Ни одно А не есть В", "Нек-рые А суть В" и "Нек-рые А не суть В" могут быть записаны (если отвлечься от предполагаемого аристотелевой логикой требования непустоты А в общих суждениях) при помощи поясняемой ниже символики следующим образом: ∀(х) (А (х) ⊃ В (х)), ∀(х) (А (х) ⊃ В(x)), ∃(х) (А (х) & В (х)) и ∃ (х) (А (х) & B (x)). Введение К. дает записывать на формализованном логич. языке выражения естеств. языка, содержащие количест. характеристики к.-л. предметных или предикатных областей. В естеств. языках носителями таких характеристик являются т. н. кванторные слова, к числу к-рых относятся, в частности, количеств. числительные, местоимения "все", "каждый", "нек-рый", глагол "существует", прилагательные "любой", "всякий", "единственный", наречия "бесконечно много" и т.п. Оказывается, что для выражения всех упомянутых кванторных слов в формализ. языках и логич. исчислениях достаточно двух наиболее употребит. К.: К. общности (или в с е о б щ н о с т и), обозначаемого обычно символом ∀(перевернутая буква А – начальная буква англ. слова "all", нем. "alle" и др.), и К. с у щ е с т в о в а н и я, обозначаемого обычно символом ∃ (перевернутая буква E – начальная буква англ. слова "exist", нем. "existieren" и др.); за знаками ∀ и ∃ в обозначении К. следует буква нек-рого алфавита, называемая кванторной переменной, к-рую рассматривают обычно как часть обозначения К.: ∀х, ∀у, ∀F, ∃х, ∃α и т.п. Для К. общности употребляют также обозначения:

для К. существования:

Знак К. ставится перед выражением, к к-рому применяется К. (операцию применения К. часто называют квантификацией); это выражение заключается в скобки (к-рые часто опускают, если это не приводит к двусмысленности). Содержащее К. общности выражение ∀x (А (х)) читается как "Для всех x верно, что А (х)", или "Для каждого x верно А (х)"; содержащее К. существования выражение ∃х (А(х)) читается как "Существует x такой, что А (х)", или "Для нек-рого x верно А(х)". В обоих этих случаях не предполагается, вообще говоря, что выражение A (х) в действительности зависит от переменной x ( может и вообще не содержать никаких переменных, т.е. может обозначать нек-рое высказывание; в этом случае не меняет смысла этого высказывания). Однако осн. назначение К. - высказываний из выражения, зависящего от кванторной переменной, или хотя бы уменьшение числа переменных, от к-рых это выражение, будучи незамкнутой (открытой) формулой (см. Замкнутая формула), зависит. Напр., выражение (y>0&z>0&x=у-z) содержит три переменные (х, y и z) и становится высказыванием (истинным или ложным) при к.-л. опред. замещении этих переменных именами нек-рых предметов из области их значений. Выражение ∃ z(y>0&z>0&x = y-z) зависит уже лишь от двух переменных (х и у), a ∃y∃z (y>0&z>0& &х = у –z) - от одной х. Последняя формула выражает, т.о., нек-рое свойство (одноместный ). Наконец, формула ∃х∃у∃z (y>0&z>0&x=y–z) выражает вполне опред. высказывание.

Др. примеры формул, содержащих К.: 1) ∀х(х>0); 2) ∃х(х>0); 3) ∀х (2+2=5); 4) ∃x (2+2=4); 5) ∀х (х = х)& (х+2=у); 6) ∀х∃у (∀z (x = z⊃x ≠ 0) & (x действие к.-л. К., наз. областью действия этого К. Так, в формуле 6) областями действия К. ∀х и ∃y являются стоящие справа от них части формулы, а область действия К. ∀z - формула (x = z⊃x ≠ 0). Вхождение к.-л. переменной в знак К. или в область действия К., содержащего эту переменную, наз. связанным вхождением переменной в формулу. В остальных случаях вхождение переменной наз. с в о б о д н ы м. Одна и та же может входить в к.-л. формулу в одном месте в связанном виде, а в др. месте – в свободном. Такова, напр., формула 5): первые три (считая слева) вхождения в нее переменной x – связанные, последнее же – свободное. Иногда говорят, что переменная связана в данной формуле, если все ее вхождения в эту формулу – связанные. В математике и логике всякое выражение, содержащее свободную переменную, может рассматриваться (при неформальном подходе) как ее в том обычном смысле этого слова, что оно (выражение) зависит от различных значений этой переменной; придавая этой переменной различные значения (т. е. замещая все ее свободные вхождения именем к.-л. предмета, принадлежащего к области значений этой переменной), мы получаем различные (вообще говоря) значения данного выражения, зависящие от значения переменной, т.е. от подставленной вместо нее константы. Что же касается связанных переменных, то заключающие их выражения в действительности от них не зависят. Напр., выражение ∃х(х = 2у), зависящее от у (входящего в него свободно), эквивалентно выражениям ∃z(z = 2y), ∃u(u = 2у) и т.п. Эта логич. выражений от входящих в них связанных переменных находит в т. н. правиле переименования с в я з а н н ы х п е р е м е н н ы х, постулируемом или выводимом в разл. логич. исчислениях (см. Переменная , Предикатов исчисление).

Изложенное выше истолкование смысла К. относилось к с о д е р ж а т е л ь н ы м логич. теориям. Что же касается исчислений в собств. смысле (т.н. формальных систем), то в них вообще не имеет смысла говорить о "значении" того или иного К., являющегося здесь просто нек-рым символом исчисления. Вопрос о значении (смысле) К. относится целиком к области интерпретации исчисления. В применении к К. можно говорить по крайней мере о трех интерпретациях: классической, интуиционистской и конструктивной, соответствующих различным концепциям существования и всеобщности в логике и математике (см. Интуиционизм , Конструктивная логика). Как в классич., так и в интуиционистском (конструктивном) исчислении предикатов способы вывода в случаях, когда исходные или доказываемые формулы содержат К., описываются одними и теми же т. н. постулатами квантификации, напр. постулатами Бернайса.

К. общности и существования не исчерпываются употребительные в логике виды К. Обширный К. представляют собой т. н. ограниченные К. вида ∀хP(x)А(х) или ∃xQ(x)A(x), в к-рых область изменения кванторной переменной x "ограничена" нек-рым спец. предикатом Р(х) (или Q(x)). Ограниченные К. сводятся к К. общности и существования при помощи след. эквивалентностей: ∀xP(x)A(x) КВАНТОР∀x(P(x) ⊃A(x)) и ∃xQ(x)A(x) КВАНТОР ∃x(Q(x)&A(x)). Часто употребляемый К. единственности ∃!хА(х) ("существует единственное x такое, что А(х)") также выражается через К. общности и существования, напр. так: xA(x) КВАНТОР ∃xA(x)& ∀y∀z(A(y)&A(z)⊃y=z).

Употребительны и др. виды К., не покрываемые понятием ограниченного К. Таковы "числовые" К. вида ∃хnА(х) ("существует в точности n различных x таких, что А(х)"), употребляемый в интуиционистской логике К. "квазисуществования" ∃ хА(х), или ("неверно, что не существует такого х, что А(х)"); с т. зр. классич. логики К. "квазисуществования" ничем не отличается от К. существования, в интуиционистской же логике предложение ∃xA(x), ничего не говорящее о существовании алгоритма для нахождения такого х, что А(х), действительно утверждает лишь "квази" такого x и К. бесконечности ∃x∞A(x) ("существует бесконечно много таких х, что А(х)"). Выражения, содержащие К. бесконечности и числовые К., также могут быть записаны при помощи К. общности и существования. В расширенном исчислении предикатов К. берутся не только по предметным, но и по предикатным переменным, т.е. рассматриваются формулы вида ∃F∀xF(x), ∀Ф∃у(Ф(y)) и т.п.

Лит.: Гильберт Д. и Аккерман В., Основы теоретической логики, пер. с англ., М., 1947, с. 81-108; Тарский А., Введение в логику и методологию дедуктивных наук, пер. с англ., М., 1948, о. 36-42, 100-102, 120-23; Клини С. К., Введение в метаматематику, пер. с англ., М., 1957, с. 72-80, 130-38; Чёрч Α., Введение в математическую логику, пер. с англ., т. 1, с. 42–48; Кузнецов А. В., Логические контуры алгоритма, перевода со стандартизованного русского языка на информационно-логический, в сб.: Тезисы докладов на конференции по обработке информации, машинному переводу и автоматическому чтению текста, М., 1961; Mostowski A., On a generalization of quantifiers, "Fundam. math.", 1957, t. 44, No 1, p. 12–36; Hailperin T., A theory of restricted quantification, I–II, "J. Symb. Logic", 1957, v. 22, No 1, p. 19–35, No 2, p. 113–29.

Ю. Гастев. Москва.

Философская Энциклопедия. В 5-х т. - М.: Советская энциклопедия . Под редакцией Ф. В. Константинова . 1960-1970 .


Синонимы :

Смотреть что такое "КВАНТОР" в других словарях:

    Сущ., кол во синонимов: 1 оператор (24) Словарь синонимов ASIS. В.Н. Тришин. 2013 … Словарь синонимов

    квантор - — Тематики электросвязь, основные понятия EN quantifier … Справочник технического переводчика

    Квантор общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого либо предиката и создающих выcказывание. Чаще всего упоминают: Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…» … Википедия

    Общее название для логических операций, к рые по предикату Р(х)строят высказывание, характеризующее область истинности предиката Р(х). В математич. логике наиболее употребительны квантор всеобщности и квантор существования Высказывание означает,… … Математическая энциклопедия

    Квантор - (от лат. quantum сколько) символ, используемый для обозначения некоторых операций математической логики, одновременно логическая операция, дающая количественную характеристику области предметов, к которым относится выражение, получаемое в… … Начала современного естествознания

Рассматриваемые вопросы
1. Кванторы.
2. Квантор всеобщности.
3. Квантор существования.
4. Понятие формулы логики предикатов. Значение формулы
логики предикатов.
5. Равносильные формулы логики предикатов.

Понятие квантора

Квантор - (от лат. quantum - сколько), логическая
операция, дающая количественную характеристику
области предметов, к которой относится выражение,
получаемое в результате её применения.
В обычном языке носителями таких характеристик
служат слова типа "все", "каждый", "некоторый",
"существует",
"имеется",
"любой",
"всякий",
"единственный", "несколько", "бесконечно много",
"конечное число", а также все количественные
числительные.

Операции для предиката

Для предикатов вводятся две новые по
сравнению с логикой высказываний операции:
квантор общности
квантор существования

Квантор общности

Пусть Р(x) – одноместный предикат, определенный на
предметном множестве М.
Универсальным высказыванием, соответствующим
предикату Р(x), называется высказывание:
«каждый элемент множества М удовлетворяет
предикату Р(x)»
или
«для всякого х выполняется предикат»
Это высказывание обозначается - (x)P(x)
Высказывание (x)P(x) считается истинным, если
предикат P(x) тождественно истинный, а ложным –
в противном случае.

Квантор общности

Символ x называется квантором
переменной х, его читают так:
«для всех х»
«для каждого х»
«для любого х»
общности по
Выражение (x)P(x) читается: «для всех х, Р(х)», или
«для каждого х, Р(х)».
Например, x(х=х) – это истинное универсальное
высказывание, а x(х>2) – ложное универсальное
высказывание.

конечном множестве {a1,a2,…am}, то:
P(x) P(a1) P(a2) ... P(am)

Квантор общности

Таким образом, квантор общности
можно понимать как оператор
конъюнкции по квантифицируемой
переменной.

Квантор существования

Экзистенциональным
высказыванием,
соответствующим
предикату
Р(x),
называется
высказывание «существует элемент множества М,
удовлетворяющий
предикату
Р(x)»,
которое
обозначается x P(x) и считается истинным, если
предикат Р(х) выполнимый, а ложным – в противном
случае.
Символ x называют квантором существования, а
выражение x, в котором этот квантор предшествует
переменной х, читают так:
«существует х такой, что…»
«для некоторого х, …»

Квантор существования

НАПРИМЕР
x(х>2) –истинное экзистенциональное высказывание
x(х=х+1) – ложное экзистенциональное высказывание.
Если Р(х)- одноместный предикат, определенный на
конечном множестве {a1,a2,…am}, то
P(x) P(a1) P(a2) ... P(am)

Квантор существования

Таким образом, квантор
существования можно понимать как
оператор дизъюнкции по
квантифицируемой переменной.

10. Примеры

Примеры записей формул и их словесные выражения:
x(x 2 1 (x 1)(x 1)) Для всех х выполняется предикат…
x(x 0)

неравенство...
x(x 0)
Для всех х, справедливо…..
y (5 y 5)
Существует y такой, что 5+y=5
y(y 2 y 1 0)
Для всех y выполняется предикат
y(y 2 y 1 0)
Существует y, что ….
x(x x)
Для некоторого х, справедливо
3
2

11. Формулы логики предикатов

В логике предикатов имеется следующая символика:
Символы p, q, r, …- переменные высказывания, принимающие
два значения: 1- истина, 0 – ложь.
Предметные переменные – x, y, z, …, которые пробегают
значения из некоторого множества М;
x0, y0, z0 – предметные константы, т. е. значения предметных
переменных.
P(·), Q(·), F(·), … - одноместные предикатные переменные;
Q(·,·,…,·), R(·,·, …,·) – n-местные предикатные переменные.
P0(·), Q0(·,·, …,·) – символы постоянных предикатов.
Символы логических операций: , .
Символы кванторных операций: х, х.
Вспомогательные символы: скобки, запятые.

12. Формулы логики предикатов

Предметная переменная называется свободной, если она
не следует непосредственно за квантором и не входит в
область действия квантора по этой переменной, все другие
переменные,
входящие
в
формулу,
называются
связанными.
y z (P(x,y) P(y,z))
Формулой логики предикатов являются:
Каждая предикатная буква и предикатная буква со
следующими за ней в скобках предметными переменными.
Выражения вида F G, F G, G, F G, F G, (y)F,
(y)G, где F и G – формулы логики предикатов, переменная
у М.

13. Формулы логики предикатов

Каждое высказывание как переменное, так
постоянное, является формулой (элементарной).
и
Если F(·,·, …,·) – n-местная предикатная переменная
или постоянный предикат, а x1, x2,…, xn– предметные
переменные или предметные постоянные (не
обязательно все различные), то F(x1, x2,…, xn) есть
формула. Такая формула называется элементарной, в
ней предметные переменные являются свободными, не
связанными кванторами.

14. Формулы логики предикатов

Если А и В – формулы, причем, такие, что одна и та же
предметная переменная не является в одной из них
связанной, а в другой – свободной, то слова A B,
A B, A B есть формулы. В этих формулах те
переменные, которые в исходных формулах были
свободны, являются свободными, а те, которые были
связанными, являются связанными.
Если А – формула, то A– формула, и характер
предметных переменных при переходе от формулы А к
формуле A не меняется.

15. Формулы логики предикатов

Если А(х) – формула, в которую предметная
переменная х входит свободно, то слова xA(x) и
xA(x) являются формулами, причем, предметная
переменная входит в них связанно.
Всякое слово, отличное от тех, которые названы
формулами в предыдущих пунктах, не является
формулой.

16. Формулы логики предикатов

Например, если Р(х) и Q(x,y) – одноместный и
двухместный предикаты, а q, r – переменные
высказывания, то формулами будут, выражения:
q, P(x), P(x) Q(x , y), xP(x) xQ(x, y), (Q(x, y) q) r
0
Не является формулой, например, слово: xQ(x, y) P(x)
Здесь нарушено условие п.3, так как формулу
xQ(x,y) переменная х входит связанно, а в формулу
Р(х) переменная х входит свободно.
Из определения формулы логики предикатов ясно, что
всякая формула алгебры высказываний является
формулой логики предикатов.

17. Интерпретация формулы предикатов

Интерпретацией формулы исчисления предикатов
называется конкретизация множеств, из которых
принимают значения предметные переменные и
конкретизация
отношений
и
соответствующих
множеств истинности для каждой предикатной буквы.

18. Формулы исчисления предикатов

тождественно
истинные при
любой
интерпретации,
т.е.
общезначимые
тождественно
ложные
при
любой
интерпретации,
т.е.
противоречивые
выполнимые
(формулы,
истинность
которых зависит
от
интерпретации)

19. Значение формулы логики предикатов

В качестве примера рассмотрим формулу
y z (P(x, y) P(y, z))
В формуле двухместный предикат Р(x, y) определен на
множестве MхM, где M={0,1,2,…,n,…}, т.е. MхM=NхN.
В формулу входит переменный предикат P(x,y), предметные
переменные x,y,z, две из которых y и z – связанные кванторами,
а x – свободная.
Возьмем
за
конкретное
значение
предиката
P(x,y)
фиксированный предикат P0(x,y): «x переменной х придадим значение x0=5 M.
Тогда при значениях y, меньших x0=5, предикат P0(x0,y)
принимает значение “ложь”, а импликация P(x,y) P(y,z) при
всех z M принимает значение “истина”, т.е. высказывание
имеет значение “истина”.

20. Равносильные формулы логики предикатов

Определение 1.

равносильными на области М, если они принимают
одинаковые логические значения при всех значениях входящих в
них переменных, отнесенных к области М.
Определение 2.
Две формулы логики предикатов А и В называются
равносильными, если они равносильны на всякой области.

21. Равносильные формулы логики предикатов

Пусть А(х) и В(х) – переменные предикаты, а С – переменное
высказывание (или формула, не содержащая х). Тогда имеют
место следующие равносильности:

22. Равносильные формулы логики предикатов

Пример
Предикат Мать(x,y) означает, что x является матерью для y.
Тогда y xМать(x,y) означает, что у каждого человека есть
мать, - истинное утверждение.
x yМать(x,y) означает, что существует мать всех людей, что
является другим утверждением, истинность которого зависит от
множества значений, которые могут принимать y: если это
множество братьев и сестер, то оно истинно, а в противном
случае оно ложно.
Таким образом, перестановка кванторов всеобщности и
существования может изменить смысл и значение выражения.

23. Законы логических операций (общезначимые формулы логики предикатов)

24. Упражнение

Найти отрицание следующих формул

25. Упражнение

и
Упражнение
Доказать равносильность
x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)
Пусть предикаты А(х) и В(х) тождественно ложны. Тогда будет
ложным и предикат A(x) B(x)
x(A(x) B(x))
При этом будут ложными высказывания
xA(x) xB(x)
Пусть хотя бы один из предикатов (например, А(х)) не
тождественно ложный. Тогда будет не тождественно ложным и
предикат A(x) B(x)
При этом будут истинными высказывания xA(x) x(A(x) B(x))
Значит, будут истинными и исходные формулы
Следовательно: x(A(x) B(x)) xA(x) xB(x)

26.

Самостоятельно
Для более подробного изучения материала
самостоятельно читаем:
УЧЕБНИК: «Математическая логика и теория
алгоритмов»,
автор Игошин В.И.
Страницы 157-164
Страницы 165-178
Страницы 178-183

27.

Домашнее задание
Доказать равносильность
C xA(x) x(C A(x))
Доказать что формула является общезначимой
A V (P(x) Q(x)) xP(x) xQ(x)
Доказать что формула является противоречивой
A x((F (x) F (x)) (F (x) F (x)))
Логика и аргументация: Учебн. пособие для вузов. Рузавин Георгий Иванович

4.2. Кванторы

4.2. Кванторы

Существенное отличие логики предикатов от логики высказываний заключается также в том, что первая вводит количественную характеристику высказываний или, как говорят в логике, квантифицирует их. Уже в традиционной логике суждения классифицировались не только по качеству, но и по количеству, т.е. общие суждения отличались от частных и единичных. Но никакой теории о связи между ними не было. Современная логика рассматривает количественные характеристики высказываний в специальной теории квантификации, которая составляет неотъемлемую часть исчисления предикатов.

Для квантификации (количественной характеристики) высказываний эта теория вводит два основных квантора: квантор общности, который мы будем обозначать символом (х), и квантор существования, обозначаемый символом (Ех). Они ставятся непосредственно перед высказываниями или формулами, к которым относятся. В том случае, когда кванторы имеют более широкую область действия, перед соответствующей формулой ставятся скобки.

Квантор общности показывает, что предикат, обозначенный определенным символом, принадлежит всем объектам данного класса или универсума рассуждения.

Так, суждение: "Все материальные тела обладают массой" можно перевести на символический язык так:

где х - обозначает материальное тело:

М - массу;

(х) - квантор общности.

Аналогично этому утверждение о существовании экстрасенсорных явлений можно выразить через квантор существования:

где через х обозначены явления:

Э - присущее таким явлениям свойство экстрасенсорности;

(Ex) - квантор существования.

С помощью квантора общности можно выражать эмпирические и теоретические законы, обобщения о связи между явлениями, универсальные гипотезы и другие общие высказывания. Например, закон теплового расширения тел символически можно представить в виде формулы:

(х) (Т(х) ? P(х)),

где (х) - квантор общности;

Т(х) - температура тела;

Р(х) - его расширение;

Знак импликации.

Квантор существования относится только к определенной части объектов из данного универсума рассуждений. Поэтому, например, он используется для символической записи статистических законов, которые утверждают, что свойство или отношение относится только для характеристики определенной части изучаемых объектов.

Введение кванторов дает возможность прежде всего превращать предикаты в определенные высказывания. Предикаты сами по себе не являются ни истинными, ни ложными. Они становятся таковыми, если вместо переменных либо подставляются конкретные высказывания, либо, если они связываются кванторами, квантифицируются. На этом основании вводится разделение переменных на связанные и свободные.

Связанными называются переменные, подпадающие под действие знаков кванторов общности или существования. Например, формулы (х) А (х) и (х) (Р (х) ? Q(x)) содержат переменную х. В первой формуле квантор общности стоит непосредственно перед предикатом А(х), вовторой - квантор распространяет свое действие на переменные, входящие в предыдущий и последующий члены импликации. Аналогично этому квантор существования может относиться как к отдельному предикату, так и к их комбинации, образованной с помощью логических операций отрицания, конъюнкции, дизъюнкции и др.

Свободная переменная не подпадает под действие знаков кванторов, поэтому она характеризует предикат или пропозициональную функцию, а не высказывание.

С помощью комбинации кванторов можно выразить на символическом языке логики достаточно сложные предложения естественного языка. При этом высказывания, где речь идет о существовании объектов, удовлетворяющих определенному условию, вводятся с помощью квантора существования. Например, утверждение о существовании радиоактивных элементов записывается с помощью формулы:

где R обозначает свойство радиоактивности.

Утверждение, что существует опасность для курящего заболеть раком, можно выразить так: (Ех) (К(х) ? P(x)), где К обозначает свойство "быть курящим", а Р - "заболеть раком". С известными оговорками то же самое можно было выразить» посредством квантора общности: (х) (К(х) ? Р(х)). Но утверждение, что всякий курящий может заболеть раком, было бы некорректным, и поэтому его лучше всего записать с помощью квантора существования, а не общности.

Квантор общности используется для высказываний, в которых утверждается, что определенному предикату А удовлетворяет любой объект из области его значений. В науке, как уже говорилось, квантор общности используется для выражения утверждений универсального характера, которые словесно представляются с помощью таких фраз, как "для всякого", "каждый", "всякий", "любой" и т.п. Путем отрицания квантора общности можно выразить общеотрицательные высказывания, которые в естественном языке вводятся словами "никакой", "ни один", "никто" и т.п.

Разумеется, при переводе на символический язык утверждений естественного языка встречаются определенные трудности, но при этом достигается необходимая точность и однозначность выражения мысли. Нельзя, однако, думать, что формальный язык богаче естественного языка, на котором выражаются не просто смысл, но и разные его оттенки. Речь поэтому может идти только о более точном представлении выражений естественного языка как универсального средства выражения мыслей и обмена ими в процессе общения.

Чаще всего кванторы общности и существования встречаются вместе. Например, чтобы выразить символически утверждение: "Для каждого действительного числа х существует такое число у, что х будет меньше у", обозначим предикат "быть меньше" символом <, известным из математики, и тогда утверждение можно представить формулой: (х) (Еу) < (х, у). Или в более привычной форме: (х) (Еу) (х < у). Это утверждение является истинным высказыванием, поскольку для любого действительного числа х всегда существует другое действительное число, которое будет больше него. Но если мы переставим в нем кванторы, т.е. запишем его в форме: (Еу) (х) (х < у), тогда высказывание станет ложным, ибо в переводе на обычный язык оно означает, что существует число у, которое будет больше любого действительного числа, т.е. существует наибольшее действительное число.

Из самого определения кванторов общности и существования непосредственно следует, что между ними существует определенная связь, которую обычно выражают с помощью следующих законов.

1. Законы перестановки кванторов:

(х) (у) А ~ (у) (х) А;

(Ех) (Еу) А ~ (Еу) (Ех) А;

(Ех) (у) А ~ (у) (Ех) А;

2. Законы отрицания кванторов:

¬ (х) А ~ (Ех) ¬ А;

¬ (Ех) А ~ (х) ¬ А;

3. Законы взаимовыразимости кванторов:

(х) А ~ ¬ (Ех) ¬ А;

(Ех) А ~ ¬ (х) ¬ А.

Здесь всюду А обозначает любую формулу объектного (предметного) языка. Смысл отрицания кванторов очевиден: если неверно, что для любого х имеет место А, тогда существуют такие х, для которых А не имеет места. Отсюда также следует, что если: любому х присуще А, тогда не существует такого х, которому было бы присуще не-А, что символически представлено в первом законе взаимовыразимости.

Кроме рассмотренных выше операций, мы будем употреблять еще две новые операции, связанные с особенностями логики предикатов. Операции эти выражают собой утверждения общности и существования.

Квантор - некоторый способ приписать наличие каких-либо свойств целому множеству объектов: (квантор общности) или просто (), (квантор существования).

1. Квантор общности. Пусть R (x) - вполне определенный предикат, принимающий значение И или Л для каждого элемента х некоторого поля М. Тогда под выражением (x)R(x) мы будем подразумевать высказывание истинное, когда R(х) истинно для каждого элемента х поля М, и ложное в противном случае. Это высказывание уже не зависит от х. Соответствующее ему словесное выражение будет: «для всякого х R (х) истинно».

Пусть теперь И(х)-формула логики предикатов, принимающая определенное значение, если входящие в нее переменные предметы и переменные предикаты замещены вполне определенным образом. Формула И(х) может содержать и другие переменные, кроме х. Тогда выражение И(х) при замещении всех переменных как предметов, так и предикатов, кроме х, представляет собой конкретный предикат, зависящий только от х. А формула (х)И(х) становится вполне определенным высказыванием. Следовательно, эта формула вполне определяется заданием значений всех переменных, кроме х, и, значит, от х не зависит. Символ (х) называется квантором общности .

2. Квантор существования. Пусть R(х) - некоторый предикат. Мы свяжем с ним формулу (x)R(x), определив ее значение как истину, если существует элемент поля М, для которого R(х) истинно, и как ложь в противном случае. Тогда если И(х) - определенная формула логики предикатов, то формула (x)И(x) также определена и от значения х не зависит. Знак (x) называется квантором существования .

Кванторы (х) и (х) называются двойственными друг другу.

Мы будем говорить, что в формулах (х)И(х) и (x)И(x) кванторы (х) и (х) относятся к переменному х или что переменное х связано соответствующим квантором.

Предметное переменное, не связанное никаким квантором, мы будем называть свободным переменным . Таким образом, мы описали все формулы логики предикатов.

Если две формулы И и В, отнесенные к некоторому полю М, при всех замещениях переменных предикатов, переменных высказываний и свободных предметных переменных соответственно индивидуальными предикатами, определенными на М, индивидуальными высказываниями и индивидуальными предметами из М, принимают одинаковые значения И или Л, то мы будем говорить, что эти формулы равносильны на поле М. (При замещениях переменных предикатов, высказываний и предметов мы, конечно, те из них, которые в формулах И и В обозначены одинаковым образом, замещаем также одинаковым образом).

Если две формулы равносильны на любых полях М, то мы будем их называть просто равносильными. Равносильные формулы могут быть замещаемы одна другой.

Равносильность формул позволяет приводить их в разных случаях к более удобному виду.

В частности, имеет место: И→ В равносильно И В.

Пользуясь этим, мы можем для любой формулы найти равносильную, в которой из операций алгебры высказываний имеются только &, и -.

Пример: (x)(А(х)→(у)В(у)) равносильна (x)(А(х)(у)В(у)).

Кроме того, для логики предикатов имеются равносильности, связанные с кванторами.

Существует закон, связывающий кванторы со знаком отрицания. Рассмотрим выражение (х)И(х).

Высказывание «(х)И(х) ложно», равносильно высказыванию: «существует элемент у, для которого И(у) ложно» или, что то же, «существует элемент у, для которого И(у) истинно». Следовательно, выражение (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Рассмотрим таким же образом выражение (х)И(х).

Это есть высказывание «(х)И(х) ложно». Но такое высказывание равносильно высказыванию: «для всех у И(у) ложно» или «для всех у И(у) истинно». Итак, (х)И(х) равносильно выражению (у)И(у).

Мы получили, таким образом, следующее правило:

Знак отрицания можно ввести под знак квантора, заменив квантор на двойственный.

Мы уже видели, что для каждой формулы существует равносильная ей формула, которая из операций алгебры высказываний содержит только &, и -.

Пользуясь равносильностями для каждой формулы можно найти равносильную, в которой знаки отрицания относятся к элементарным высказываниям и элементарным предикатам.

Для аксиоматического описания логики предикатов предназначено исчисление предикатов.

Исчисление предикатов - некоторая аксиоматическая система, предназначенная для моделирования некоторой среды и проверки каких-либо гипотез относительно свойств этой среды при помощи разработанной модели. Гипотезы при этом утверждают наличие или отсутствие некоторых свойств у некоторых объектов и выражаются в виде логической формулы. Обоснование гипотезы сводится, таким образом, к оценке выводимости и выполнимости логической формулы.

Предика́т (лат. praedicatum - заявленное, упомянутое, сказанное) - любое математическое высказывание, в котором есть, по меньшей мере, одна переменная. Предикат является основным объектом изучения логики первого порядка.

Предикат – выражение с логическими переменными, имеющие смысл при любых допустимых значениях этих пременных.

Выражения: х > 5, x > y – предикаты.

Предика́т (n -местный, или n -арный) - это функция с множеством значений {0,1} (или «ложь» и «истина»), определённая на множестве . Таким образом, каждый набор элементов множества M характеризуется либо как «истинный», либо как «ложный».

Предикат можно связать с математическим отношением: если n -ка принадлежит отношению, то предикат будет возвращать на ней 1. В частности, одноместный предикат определяет отношение принадлежности некоторому множеству.

Предикат - один из элементов логики первого и высших порядков. Начиная с логики второго порядка, в формулах можно ставить кванторы по предикатам.

Предикат называют тождественно-истинным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 1.

Предикат называют тождественно-ложным и пишут:

если на любом наборе аргументов он принимает значение 0.

Предикат называют выполнимым , если хотя бы на одном наборе аргументов он принимает значение 1.

Так как предикаты принимают только два значения, то к ним применимы все операции булевой алгебры, например: отрицание, импликация, конъюнкция, дизъюнкция и т. д

Ква́нтор - общее название для логических операций, ограничивающих область истинности какого-либо предиката. Чаще всего упоминают:

Квантор всеобщности (обозначение: , читается: «для всех…», «для каждого…» или «каждый…», «любой…», «для любого…»).

Квантор существования (обозначение: , читается: «существует…» или «найдётся…»).

Примеры

Обозначим P (x ) предикат «x делится на 5». Используя квантор общности, можно формально записать следующие высказывания (конечно, ложные):

любое натуральное число кратно 5;

каждое натуральное число кратно 5;

все натуральные числа кратны 5;

следующим образом:

.

Следующие (уже истинные) высказывания используют квантор существования:

существуют натуральные числа, кратные 5;

найдётся натуральное число, кратное 5;

хотя бы одно натуральное число кратно 5.

Их формальная запись:

.Введение в понятие

Пусть на множестве Х простых чисел задан предикат Р(х): «Простое число х - нечётно». Подставим перед этим предикатом слово «любое». Получим ложное высказывание «любое простое число х нечётно» (это высказывание ложно, так как 2 - простое чётное число).

Подставив перед данным предикатом Р(х) слово «существует», получим истинное выказывание «Существует простое число х, являющееся нечётным» (например, х=3).

Таким образом, превратить предикат в высказывание можно, поставив перед предикатом слова: «все», «существует», и др., называемые в логике кванторами.

Кванторы в математической логике

Высказывание означает, что область значений переменной x включена в область истинности предиката P (x ).

(«При всех значениях (x) утверждение верно»).

Высказывание означает, что область истинности предиката P (x ) непуста.

(«Существует (x) при котором утверждение верно»).

Вопрос31 Граф и его элементы. Основные понятия. Инцидентность, кратность, петля, смежность. Типы графов. Маршрут в графе и его длина. Классификация маршрутов. Матрицы смежности ориентированного и неориентированного графов.

В математической теории графов и информатике граф - это совокупность непустого множества вершин и множества пар вершин.

Объекты представляются как вершины, или узлы графа, а связи - как дуги, или рёбра. Для разных областей применения виды графов могут различаться направленностью, ограничениями на количество связей и дополнительными данными о вершинах или рёбрах.

Путём (или цепью) в графе называют конечную последовательность вершин, в которой каждая вершина (кроме последней) соединена со следующей в последовательности вершин ребром.

Ориентированным путём в орграфе называют конечную последовательность вершин v i , для которой все пары (v i ,v i + 1) являются (ориентированными) рёбрами.

Циклом называют путь, в котором первая и последняя вершины совпадают. При этом длиной пути (или цикла) называют число составляющих его рёбер . Заметим, что если вершины u и v являются концами некоторого ребра, то согласно данному определению, последовательность (u ,v ,u ) является циклом. Чтобы избежать таких «вырожденных» случаев, вводят следующие понятия.

Путь (или цикл) называют простым, если ребра в нём не повторяются; элементарным, если он простой и вершины в нём не повторяются. Несложно видеть, что:

Всякий путь, соединяющий две вершины, содержит элементарный путь, соединяющий те же две вершины.

Всякий простой неэлементарный путь содержит элементарный цикл .

Всякий простой цикл, проходящий через некоторую вершину (или ребро), содержит элементарный (под-)цикл, проходящий через ту же вершину (или ребро).

Петля - элементарный цикл.

Граф или неориентированный граф G - это упорядоченная пара G : = (V ,E

V

E это множество пар (в случае неориентированного графа - неупорядоченных) вершин, называемых рёбрами.

V (а значит и E , иначе оно было бы мультимножеством) обычно считаются конечными множествами. Многие хорошие результаты, полученные для конечных графов, неверны (или каким-либо образом отличаются) для бесконечных графов . Это происходит потому, что ряд соображений становится ложным в случае бесконечных множеств.

Вершины и рёбра графа называются также элементами графа, число вершин в графе | V | - порядком, число рёбер | E | - размером графа.

Вершины u и v называются концевыми вершинами (или просто концами) ребра e = {u ,v }. Ребро, в свою очередь, соединяет эти вершины. Две концевые вершины одного и того же ребра называются соседними.

Два ребра называются смежными, если они имеют общую концевую вершину.

Два ребра называются кратными, если множества их концевых вершин совпадают.

Ребро называется петлёй, если его концы совпадают, то есть e = {v ,v }.

Степенью deg V вершины V называют количество инцидентных ей рёбер(при этом петли считают дважды).

Вершина называется изолированной, если она не является концом ни для одного ребра; висячей (или листом), если она является концом ровно одного ребра.

Ориентированный граф (сокращённо орграф) G - это упорядоченная пара G : = (V ,A ), для которой выполнены следующие условия:

V это непустое множество вершин или узлов,

A это множество (упорядоченных) пар различных вершин, называемых дугами или ориентированными рёбрами.

Дуга - это упорядоченная пара вершин (v, w) , где вершину v называют началом, а w - концом дуги. Можно сказать, что дуга ведёт от вершины v к вершине w .

Смешанный граф

Смешанный граф G - это граф, в котором некоторые рёбра могут быть ориентированными, а некоторые - неориентированными. Записывается упорядоченной тройкой G : = (V ,E ,A ), где V , E и A определены так же, как выше.

Ориентированный и неориентированный графы являются частными случаями смешанного.

Изоморфные графы(?)

Граф G называется изоморфным графу H , если существует биекция f из множества вершин графа G в множество вершин графа H , обладающая следующим свойством: если в графе G есть ребро из вершины A в вершину B , то в графе H f (A ) в вершину f (B ) и наоборот - если в графе H есть ребро из вершины A в вершину B , то в графе G должно быть ребро из вершины f − 1 (A ) в вершину f − 1 (B ). В случае ориентированного графа эта биекция также должна сохранять ориентацию ребра. В случае взвешенного графа биекция также должна сохранять вес ребра.

Матрица смежности графа G с конечным числом вершин n (пронумерованных числами от 1 до n ) - это квадратная матрица A размера n , в которой значение элемента a ij равно числу рёбер из i -й вершины графа в j -ю вершину.

Иногда, особенно в случае неориентированного графа, петля (ребро из i -й вершины в саму себя) считается за два ребра, то есть значение диагонального элемента a ii в этом случае равно удвоенному числу петель вокруг i -й вершины.

Матрица смежности простого графа (не содержащего петель и кратных ребер) является бинарной матрицей и содержит нули на главной диагонали.

Вопрос32 Функция. Способы задания. Классификация функций. Основные элементарные функции и их графики. Композиция функций. Элементарные функции.

Функция - математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Можно сказать, что функция это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения ) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений ).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x 2 , а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека - его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Способы задания функции

Аналитический способ

Функция математический объект представляет собой бинарное отношение, удовлетворяющее определенным условиям. Функцию можно задать непосредственно как множество упорядоченных пар, например: есть функция . Однако, этот способ совершенно непригоден для функций на бесконечных множествах (каковыми являются привычные вещественные функции: степенная, линейная, показательная, логарифмическая и т. п.).

Для задания функции пользуются выражением: . При этом, x есть переменная, пробегающая область определения функции, а y - область значений. Эта запись говорит о наличии функциональной зависимости между элементами множеств. х и y могут пробегать любые множества объектов любой природы. Это могут быть числа, векторы, матрицы, яблоки, цвета радуги. Поясним на примере:

Пусть имеется множество яблоко, самолет, груша, стул и множество человек, паровоз, квадрат . Зададим функцию f следующим образом: (яблоко,человек), (самолет,паровоз), (груша,квадрат), (стул,человек) . Если ввести переменную x, пробегающую множество и переменную y, пробегающую множество , указанную функцию можно задать аналитически, как: .

Аналогично можно задавать числовые функции. Например: где х пробегает множество вещественных чисел задает некоторую функцию f. Важно понимать, что само выражение не является функцией. Функция как объект представляет собой множество (упорядоченных пар). А данное выражение как объект есть равенство двух переменных. Оно задает функцию, но не является ею.

Однако, во многих разделах математики, можно обозначать через f(x) как саму функцию, так и аналитическое выражение, ее задающее. Это синтаксическое соглашение является крайне удобным и оправданным.

Графический способ

Числовые функции можно также задавать с помощью графика. Пусть - вещественная функция n переменных.

Рассмотрим некоторое (n+1)-мерное линейное пространство над полем вещественных чисел (так как функция вещественная). Выберем в этом пространстве любой базис (). Каждой точке функции сопоставим вектор: . Таким образом, мы будем иметь множество векторов линейного пространства, соответствующих точкам данной функции по указанному правилу. Точки соответствующего аффинного пространства будут образовывать некоторую поверхность.

Если в качестве линейного пространства взять евклидово пространство свободных геометрических векторов (направленных отрезков), а число аргументов функции f не превосходит 2, указанное множество точек можно изобразить наглядно в виде чертежа (графика). Если сверх того исходный базис взять ортонормированным, получим "школьное" определение графика функции.

Для функций 3 аргументов и более такое представление не применимо ввиду отсутствия у человека геометрической интуиции многомерных пространств.

Однако, и для таких функций можно придумать наглядное полугеометрическое представление (например каждому значению четвертой координаты точки сопоставить некоторый цвет на графике)

Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны

y = k x ,

где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ).

График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом . На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .

Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени:

A x + B y = C ,

где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия . Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A , B , C показаны на рис.9.

Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением:

y = k / x ,

где k - постоянная величина.

График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k , что следует из уравнения гиперболы: xy = k .

Основные характеристики и свойства гиперболы:

x 0, область значений: y 0 ;

Функция монотонная (убывающая) при x < 0и при x > 0, но не

монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0);

Функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая;

- нулей функция не имеет.

Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - OY , которая называется осью параболы .Точка O вершиной параболы .

Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY , которая называется осью параболы .Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы .

График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2 , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами:

Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D : D = b 2 4ac . Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R ), а область

значений:(ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

Функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей.

Показательная функция. Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией .Аргумент x принимает любые действительные значения ; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа , так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = 3, y = 3 i и y = 3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х , т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R );

область значений: y > 0 ;

Функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

- нулей функция не имеет.

Логарифмическая функция. Функция y = log a x , где a – постоянное положительное число,не равное 1, называется логарифмической . Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

Область определения функции: x > 0,а область значений:  < y +

(т.e. y R );

Это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая;

У функции есть один ноль: x = 1.

Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов.Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой .

График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2

Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций:

Область определения:  < x + область значений: 1 y +1;

Эти функции периодические: их период 2 ;

Функции ограниченные (| y | , всюду непрерывные, не монотонные, но

имеющие так называемые интервалы монотонности , внутри которых они

ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20);

Функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел

«Тригонометрические уравнения»).

Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22

Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период ,

неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности

(какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область

определения и область значений этих функций:

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24)многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x ; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

У обеих функций одна и та же область определения: 1 x +1 ;

их области значений:  /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x ;

(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);

Каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x ).

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26)- многозначные, неограниченные функции; их область определения:  x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

У обеих функций одна и та же область определения:  x + ;

их области значений:  /2< y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x ;

Функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);

Только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);

функция y = arccot x нулей не имеет.

Композиция функций

Если даны два отображения и , где , то имеет смысл "сквозное отображение" из в , заданное формулой , , которое называется композицией функций и и обозначается .

Рис.1.30.Сквозное отображение из в



Последние материалы раздела:

Теплый салат со свининой по-корейски
Теплый салат со свининой по-корейски

Салат из свинины способен заменить полноценный прием пищи, ведь в нем собраны все продукты, необходимые для нормального питания – нежная мясная...

Салат с морковкой по корейски и свининой
Салат с морковкой по корейски и свининой

Морковь, благодаря присущей сладости и сочности – один из наилучших компонентов для мясных салатов. Где морковь – там и лук, это практически...

На рождество ходят крестным ходом вокруг церкви
На рождество ходят крестным ходом вокруг церкви

Крестный ход — это давно зародившаяся традиция верующих православных людей, заключающийся в торжественном шествии во главе со священнослужителями,...