Свойства циклоиды. Специальные плоские кривые Радиус кривизны циклоиды

«На второе был подан пирог в форме циклоиды..»

Дж. Свифт Путешествия Гулливера

Касательная и нормаль к циклоиде

Наиболее естественным определением окружности будет, пожалуй, следующее: «окружностью называется путь частицы твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси». Это определение наглядно, из него легко вывести все свойства окружности, а главное, оно сразу рисует нам окружность, как непрерывную кривую, чего вовсе не видно из классического определения окружности, как геометрического места точек плоскости, равноудаленных от одной точки.

Почему же в школе мы определяем окружность, к? к геометрическое место точек? Чем плохо определение окружности с помощью движения (вращения)? Подумаем об этом.

Когда мы изучаем механику, мы не занимаемся доказательством геометрических теорем: мы считаем, что уже знаем их - мы просто ссылаемся на геометрию, как на нечто уже известное.

Если и при доказательстве геометрических теорем мы будем ссылаться на механику, как на нечто уже известное, то сделаем ошибку, которая называется «логический (порочный) круг»: при доказательстве предложения мы ссылаемся на предложение В, а само предложение В обосновываем с помощью предложения А. Грубо говоря, Иван кивает на Петра, а Петр на Ивана. Такое положение при изложении научных дисциплин недопустимо. Поэтому стараются, излагая арифметику, не ссылаться на геометрию, излагая геометрию, не ссылаться на механику и т. д. При этом можно при изложении геометрии безбоязненно пользоваться арифметикой, а при изложении механики и арифметикой, и геометрией, логического круга не получится.

Определение циклоиды, с которым мы успели познакомиться, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение. Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основ) геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем.

Рис. 16. Касательная и нормаль к кривой.

Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке Рассмотрим циклоиду (рис. 17). Кружок катится по прямой АВ.

Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол (греческая буква «фи») и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок МСТ составляет такую долю отрезка какую угол составляет от 360° (от полного оборота). При этом точка пришла в точку М.

Рис. 17. Касательная к циклоиде.

Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

Стрелочка ОН изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. Мы уже знаем из «разговора двух веюсипедистов» (см. стр. 6), что скорость МС по величине равна скорости МР (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Теперь мы можем ответить на вопрос, поставленный в конце беседы Сергея и Васи (стр. 7). Комок грязи, оторвавшийся от велосипедного колеса, движется по касательной к траектории той частицы колеса, от которой он отделился. Но траекторией будет не окружность, а циклоида, потому что колесо не просто вращается, а катится, т. е. совершает движение, состоящее из поступательного движения и вращения.

Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17).

Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М, Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса (точка О должна лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии от нее). Затем строим отрезок МР произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный МР. На МС и МР, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Это построение - чисто геометрическое, хотя получили мы его, используя понятия механики. Теперь мы можем проститься с механикой и дальнейшие следствия получать без ее помощи. Начнем с простой теоремы.

Теорема 1. Угол между касательной к циклоиде (в произвольной точке) и направляющей прямой равен дополнению до 90° половины угла поворота радиуса производящего круга.

Иными словами, на нашем рис. 17 угол KLT равен или . Это равенство мы теперь докажем. Для сокращения речи условимся угол поворота радиуса производящего круга называть «основным углом». Значит, угол МОТ на рис. 17 - основной угол. Будем считать основной угол острым. Читатель сам видоизменит рассуждения для случая тупого угла, т. е. для случая, когда катящийся круг сделает больше четверти полного оборота.

Рассмотрим угол СМР. Сторона СМ перпендикулярна к ОМ (касательная к окружности перпендикулярна к радиусу). Сторона МР (горизонталь) перпендикулярна к ОТ (к вертикали). Но угол МОТ, по условию, острый (мы условились рассматривать первую четверть оборота), а угол СМР - тупой (почему?). Значит, углы МОТ и СМР составляют в сумме 180° (углы со взаимно перпендикулярными сторонами, из которых один острый, а другой - тупой).

Итак, угол СМР равен Но, как известно, диагональ ромба делит угол при вершине пополам.

Следовательно, угол что и требовалось доказать.

Обратим теперь внимание на нормаль к циклоиде. Мы говорили уже, что нормалью к кривой называется перпендикуляр к касательной, проведенный в точке касания (рис. 16). Изобразим левую часть рис. 17 крупнее, причем проведем нормаль (см. рис. 18).

Из рис. 18 следует, что угол ЕМР равен разности углов КМЕ и КМР, т. е. равен 90° - к. КМР.

Рис. 18. К теореме 2.

Но мы только что доказали, что сам угол КМР равен . Таким образом, получаем:

Мы доказали простую, но полезную теорему. Дадим ее формулировку:

Теорема 2. Угол между нормалью к циклоиде (в любой ее точке) и направляющей прямой равен половине «основного угла».

(Вспомним, что «основным углом» называется угол поворота радиуса катящегося круга)

Соединим теперь точку М («текущую» точку циклоиды) с «нижней» точкой (Т) производящего круга (с точкой касания производящего круга и направляющей прямой - см. рис. 18).

Треугольник МОТ, очевидно, равнобедренный (ОМ и ОТ - радиусы производящего круга). Сумма углов при основании этого треугольника равна , а каждый из углов при основании - половине этой суммы. Итак,

Обратим внимание на угол РМТ. Он равен разности углов ОМТ и ОМР. Мы видели сейчас, что равен 90° - что касается угла ОМР, то нетрудно выяснить, чему он равен. Ведь угол ОМР равен углу DOM (внутренние накрест лежащие углы при параллельных).

Рис. 19. Основные свойства касательной и нормали к циклоиде.

Непосредственно очевидно, что равен . Значит, . Таким образом, получаем:

Получается замечательный результат: угол РМТ оказывается равным углу РМЕ (см. теорему 2). Следовательно, прямые ME и МТ сольются! Наш рис. 18 сделан не совсем правильно! Правильное расположение линий дано на рис. 19.

Как же сформулировать полученный результат? Мы сформулируем его в виде теоремы 3.

Теорема 3 (первое основное свойство циклоиды). Нормаль к циклоиде проходит через «нижнюю» точку производящего круга.

Из этой теоремы получается простое следствие. Угол между касательной и нормалью, по определению, - прямой. Это угол, вписанный в окружность

Поэтому он должен опираться на диаметр круга. Итак, - диаметр, и - «верхняя» точка производящего круга. Сформулируем полученный результат.

Следствие (второе основное свойство циклоиды). Касательная к циклоиде проходит через «верхнюю» точку производящего круга.

Воспроизведем теперь построение циклоиды по точкам, как мы это делали на рис. 6.

Рис. 20. Циклоида - огибающая своих касательных.

На рис. 20 основание циклоиды разделено на 6 равных частей; чем число делений будет больше, тем, как мы знаем, чертеж получится точнее. В каждой точке циклоиды, построенной нами, проведем касательную, соединяя точку кривой с «верхней» точкой производящего круга. На нашем чертеже получилось семь касательных (из них две - вертикальные). Проводя теперь циклоиду от руки, будем заботиться, чтобы она действительно касалась каждой из этих касательных: это значительно увеличит точность чертежа. При этом сама циклоида будет огибать все эти касательные

Проведем на том же рис. 20 нормали во всех найденных точках циклоиды. Всего будет, не считая направляющей, пять нормалей. Можно построить от руки сгибающую этих нормалей.

Если бы мы вместо шести взяли 12 или 16 точек деления, то нормалей на чертеже было бы больше, и огибающая наметилась бы ясней. Такая огибающая всех нормалей играет важную роль при изучении свойств любой кривой линии. В случае циклоиды обнаруживается любопытный факт: огибающей нормалей циклоиды служит точно такая же циклоида, только сдвинутая на 2а вниз и на на вправо. С этим любопытным результатом, характерным именно для циклоиды, нам еще придется иметь дело.

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.

(в переводе с греч. кругообразный ) – плоская трансцендентная кривая, которую описывает точка окружности радиуса r , катящейся по прямой без скольжения (трансцендентной кривой называется кривая, которая в прямоугольных координатах не может быть описана алгебраическим уравнением). Ее параметрическое уравнение

x = rt – r sin t ,
y = r – r cos t

Точки пересечения циклоиды с прямой, по которой катится окружность (эта окружность называется производящей, а прямая, по которой она катится, – направляющей), называются точками возврата, а самые высокие точки на циклоиде, расположенные посредине между соседними точками возврата, называются вершинами циклоиды.

Первым изучать циклоиду начал Галилео Галилей . Длина одной арки циклоиды была определена в 1658 английским архитектором и математиком Кристофером Реном , автором проекта и строителем купола собора Святого Павла в Лондоне. Оказалось, что длина циклоиды равна 8-ми радиусам производящей окружности.
Одно из замечательных свойств циклоиды, давшее ей название – брахистохрона (от греческих слов «кратчайший» и «время) связано с решением задачи о наискорейшем спуске. Встал вопрос, какую форму надо придать хорошо отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой в кратчайшее время. Братья Бернулли доказали, что желоб должен иметь форму опрокинутой вниз циклоиды.

Родственные циклоиде кривые можно получить, рассматривая траектории точек, не находящихся на производящей окружности.

Пусть точка С 0 находится внутри окружности. Если провести через С 0 вспомогательную окружность с тем же центром, что и у производящей окружности, то при качении производящей окружности по прямой АВ маленькая окружность будет катиться по прямой A ´В ´, но ее качение будет сопровождаться скольжением, и точка С 0 описывает кривую, называемую укороченной циклоидой.

Аналогичным образом определяется удлиненная циклоида – это траектория точки, расположенной на продолжении радиуса производящей окружности, при этом качение сопровождается скольжением в противоположном направлении.

Циклоидальные кривые применяются при многих технических расчетах и свойства их используются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и, таким образом, изучение этих кривых важно с прикладной точки зрения. Не менее важно и то, что, изучая эти кривые и их свойства, ученые 17 в. разрабатывали приемы, которые привели к созданию дифференциального и интегрального исчислений, а задача о брахистохроне явилась шагом к изобретению вариационного исчисления.

Елена Малишевская

Федеральное агентство по образованию

ГОУ ВПО «Красноярский государственный педагогический университет им. В.П. Астафьева

Факультет математики и информатики

Кафедра математического анализа и методики его преподавания

Курсовая работа

по математическому анализу на тему

«Циклоида»

Выполнила студентка 43 группы

Ковальчук М.В.

Научный руководитель

доцент кафедры мат. анализа и мп

Шатохина М.П

Красноярск 2010

1. Введение

2. Исторические сведения

3. Основные свойства циклоиды

4. Построение циклоиды

5. Геометрическое определение циклоиды

6. Параметрическое уравнение циклоиды и уравнение в декартовых координата

7. Задачи на нахождение частей циклоиды и фигур, образованных циклоидой

8. Заключение

Кривая циклоида очень интересна для изучения, однако не так просто найти литературу ей посвященную. В большинстве таких источников циклоида упоминается только вскользь или рассматривается не достаточно полно. Однако она используется при решении различных задач. В виду того, что в школах вводится углубленное изучение математических дисциплин, в скором времени может понадобиться подробная информация о различных кривых, в том числе и о циклоиде. Так же задачи связанные с циклоидой встречаются и в физике и в высшей математике. Поэтому я посчитала данную тему актуальной и интересной для изучения.

Цель работы: описать основные свойства циклоиды, привести решение геометрических задач, связанных с циклоидой.

1. Исторические сведения

Первым кто стал изучать циклоиду, был Галилео Галилей (1564-1642)_ знаменитый итальянский, астроном, физик и просветитель. Он же и придумал название «циклоида» , что значит: «напоминающая о круге». Сам Галилей о циклоиде ничего не писал, но о его работах в этом направлении упоминают ученики и последователи Галилея: Вивиани, Торичелли и другие.

Великий античный философ - «отец логики» - Аристотель из Стагиры (384-322 годы до н. э.), занимаясь логическим обоснованием понятия движения, рассматривал, между прочим, следующий парадокс.

рис. 1

Пусть кружок, изображенный на рис. 1 жирной линией, катится по прямой АВ. Когда кружок этот сделает полный оборот, точка М вернется на прямую АВ и займет положение М х. При этом, как мы знаем, отрезок ММ Х будет равен длине «жирной» окружности. Рассмотрим начерченный кружок с центром О, изображенный тонкой линией. Когда точка М придет в положение М 1 этот маленький кружок тоже сделает полный оборот и его точка К придет в положение К 1 . При этом в каждый момент времени какая-то одна единственная точка маленькой окружности совмещается с единственной же точкой отрезка КК 1 . Каждой точке окружности соответствует единственная точка отрезка и каждой точке отрезка - единственная точка окружности. Поэтому напрашивается вывод: длина маленькой «тонкой» окружности равна длине отрезка КК 1 - ММ 1 т. е. равна длине большой («жирной») окружности. Итак, круги различных радиусов имеют окружности одинаковой длины! В этом и состоит парадокс Аристотеля.

Ошибка здесь в следующем. Из того, что каждой точке окружности радиуса ОК соответствует единственная точка отрезка КК 1 вовсе не следует, что длина этой окружности равна КК 1 . Так, например, на рис. 2 точки отрезка АВ приведены при помощи лучей, проходящих через точку D, во «взаимно однозначное» соответствие с точками вдвое большего отрезка СЕ, но никому в голову не придет утверждать, что отрезки АВ и СЕ имеют одинаковую длину! Это же относится не только к отрезкам прямых, но и кривых линий. Парадоксу Аристотеля можно придать следующую, более грубую, а потому и более ясную форму: рассмотрим две концентрические окружности (рис. 3). На них «поровну» точек: соответствующие точки соединены на рис. 3 прямыми линиями (радиусами). И все же никто не станет утверждать, что длины этих окружностей одинаковы.

рис 2 рис. 3

Аристотель рассматривал именно то движение, которое через 1900 лет привело Галилея к открытию циклоиды; но он не заинтересовался кривыми, которые вычерчиваются точками окружности катящегося круга.

В самом начале XVII века юный Галилей пытался экспериментально проверить свою догадку о том, что свободное падение - равноускоренное движение. Когда он перенес наблюдения с Пизанской башни в лаборатории, ему стало очень мешать то, что тела падают «слишком быстро». Чтобы замедлить это движение, Галилей решил заменить свободное падение тел их движением по наклонной плоскости, предположив, что и оно будет равноускоренным. Проводя эти опыты, Галилей обратил внимание на то, что в конечной точке величина скорости тела, скатившегося по наклонной плоскости, не зависит от угла наклона плоскости, а определяется только высотойH и совпадает с конечной скоростью тела, свободно упавшего с той же высоты (как вы хорошо знаете, в обоих случаях |v ̄|=

Свойства касательной и нормали к циклоиде были впервые изложены Торичелли (1608-1647) в его книге «Геометрические работы» (1644 год). Торичелли использовал при этом сложение движений. Несколько позже, но полнее, разобрал эти вопросы Роберваль (псевдоним французского математика Жилля Персонна, 1602-1672). В 1634 году Роберваль –вычислил площадь, ограниченную аркой циклоиды и ее основанием. Свойства касательной к циклоиде изучал также Декарт; он изложил свои результаты, не прибегая к помощи механики.

2. Основные свойства циклоиды

Определение циклоиды, введенное ранее, никогда не удовлетворяло ученых: ведь оно опирается на механические понятия - скорости, сложения движений и т. д. Поэтому геометры всегда стремились дать циклоиде чисто геометрическое определение» Но для того, чтобы дать такое определение, нужно прежде всего изучить основные свойства циклоиды, пользуясь ее механическим определением. Выбрав наиболее простое и характерное из этих свойств, можно положить его в основу геометрического определения.

Начнем с изучения касательной и нормали к циклоиде. Что такое касательная к кривой линии, каждый представляет себе достаточно ясно; точно определение касательной дается в курсах высшей математики, и мы его приводить здесь не будем. Нормалью называется перпендикуляр к касательной, восставленный в точке касания. На рис. 16 изображена касательная и нормаль к кривой АВ в ее точке М

Рассмотрим циклоиду (рис. 17),круг катящийся по прямой АВ. Допустим, что вертикальный радиус круга, проходивший в начальный момент через нижнюю точку циклоиды, успел повернуться на угол φ и занял положение ОМ. Иными словами, мы считаем, что отрезок М о Т составляет такую долю отрезка М о М 1 , какую угол φ составляет от 360° (от полного оборота).

Касательная к циклоиде

При этом точка М 0 пришла в точку М. Точка М и есть интересующая нас точка циклоиды.

СтрелочкаOH изображает скорость движения центра катящегося круга. Такой же горизонтальной скоростью обладают все точки круга, в том числе и точка М. Но, кроме того, точка М принимает участие во вращении круга. Скорость МС, которую точка М на окружности получает при этом вращении, направлена по касательной МС 1 к окружности, т. е. перпендикулярно к радиусу ОМ. А т.к. в этом случае скорость МС по величине равна скорости MP (т. е. скорости ОН). Поэтому параллелограмм скоростей в случае нашего движения будет ромбом (ромб МСКР на рис. 17). Диагональ МК этого ромба как раз и даст нам касательную к циклоиде.

Все сказанное дает возможность решить следующую «задачу на построение»: дана направляющая прямая АВ циклоиды, радиус г производящего круга и точка М, принадлежащая циклоиде (рис. 17). Требуется построить касательную МК к циклоиде.

Имея точку М, мы без труда строим производящий круг, в том его положении, когда точка на окружности попадает в М. Для этого предварительно найдем центр О при помощи радиуса МО =r (точка О должка лежать на прямой, параллельной АВ на расстоянии г от нее). Затем строим отрезок MP произвольной длины, параллельный направляющей прямой. Далее строим прямую МС 1 , перпендикулярную к ОМ На этой прямой откладываем от точки М отрезок МС, равный MP. На МС и MP, как на сторонах, строим ромб. Диагональ этого ромба и будет касательной к циклоиде в точке М.

Цикломида (от греч.кхклпейдЮт -- круглый) -- плоская трансцендентная кривая. Циклоида определяется кинематически как траектория фиксированной точки производящей окружности радиуса r, катящейся без скольжения по прямой.

Уравнения

Примем горизонтальную ось координат в качестве прямой, по которой катится производящая окружность радиуса r.

· Циклоида описывается параметрическими уравнениями

Уравнение в декартовых координатах:

· Циклоида может быть получена как решение дифференциального уравнения:

Свойства

• · Циклоида -- периодическая функция по оси абсцисс, с периодом 2рr. За границы периода удобно принять особые точки (точки возврата) вида t = 2рk, где k -- произвольное целое число.
• · Для проведения касательной к циклоиде в произвольной её точке A достаточно соединить эту точку с верхней точкой производящей окружности. Соединив A с нижней точкой производящей окружности, мы получим нормаль.
• · Длина арки циклоиды равна 8r. Это свойство открыл Кристофер Рен (1658).
• · Площадь под каждой аркой циклоиды втрое больше, чем площадь порождающего круга. Торричелли уверяет, что этот факт был открыт Галилеем.
• · Радиус кривизны у первой арки циклоиды равен.

• · «Перевёрнутая» циклоида является кривой скорейшего спуска (брахистохроной). Более того, она имеет также свойство таутохронности: тяжёлое тело, помещённое в любую точку арки циклоиды, достигает горизонтали за одно и то же время.
• · Период колебанийматериальной точки, скользящей по перевёрнутой циклоиде, не зависит от амплитуды, этот факт был использован Гюйгенсом для создания точных механических часов.
• · Эволюта циклоиды является циклоидой, конгруэнтной исходной, а именно -- параллельно сдвинутой так, что вершины переходят в «острия».
• · Детали машин, которые совершают одновременно равномерное вращательное и поступательное движение, описывают циклоидальные кривые (циклоида, эпициклоида, гипоциклоида, трохоида, астроида) (ср. построение лемнискаты Бернулли).