Мастер - класс «Производная функции в заданиях ЕГЭ. Производная в заданиях ЕГЭ Задания В9 и В15 Грук Любовь Владимировна учитель математики Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя

Применение производной в формате ЕГЭ .

Выполнили: Плачковская Катерина, Леонова Юлия 11Б класс Научный руководитель: Солуян Надежда Николаева, учитель математики, «Почетный работник общего образования Российской Федерации»

Введение

Производная-это одна из сложнейших тем в математике, при ее помощи решаются задачи по физике, химии, биологии и даже географии. Многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют их решать. Изучение производной продиктовано еще и тем, что многие задания ЕГЭ содержат применение производной.

Поэтому мы решили изучить эту тему более подробно.

Цель работы : сделать классификацию задач на применение производной в материалах ЕГЭ и рассмотреть способы их решения.

Задачи:

• поиск исторических фактов
• сбор информации о задачах на применение производной в материалах ЕГЭ
• анализ взаимосвязи задач со способами их решения
• изучить основные типы задач на применение производной
• решить задачи включенные в материалы ЕГЭ
• провести статистическое исследование.

История производной

Задачи на нахождения экстремума, проведение касательных к кривым и вычисление скорости постоянно возникали в практической деятельности.

В древности и в средние века такие задачи решались геометрическими и механическими способами. Позже было обнаружено, что все эти задачи можно решить единым методом, используя бесконечно малые величины. Развитие этого метода в трудах Ньютона и Лейбница привело к созданию математического анализа, появление которого широко раздвинуло границы применения математики.

Теоретические сведения

Производной функции y=f(x) называется предел отношения приращения функции к приращённому аргументу, при последнем стремящемся к нулю.

Физический смысл производной

Если тело движется прямолинейно по закону y=S’(t) , то мгновенная скорость (U) есть производная пути по времени.

U=S’(t)

Ускорение - есть производная скорости a=U’ (t)

Геометрический смысл производной

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент касательной), проведенный к графику функции y=f(x) в точке x 0 равен производной функции y=f"(x) в этой точке:

Производная сложной функции

Функция, заданная в виде y=f(g(x)) ,называется сложной, составленной из функций g и f . (функция, аргументом которой служит функция, называется сложной)

элементарная функция сложная функция

аргумент

Алгоритм нахождения наименьшего и наибольшего значений непрерывной функции y=f(x) на отрезке

1. Найти область определения функции

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные и критические точки функции, лежащие внутри отрезка (y’=0)

4. Вычислить значения функции y=f(x) в точках, отобранных на втором шаге, и в точках a и b; выбрать среди этих значений наименьшее (это будет y наим)

Алгоритм исследования непрерывной функции y=f(x) на монотонность и экстремумы

1. Найти область определения

2. Найти производную f’(x)

3. Найти стационарные (f’(x)=0) и критические (f’(x) не существует) точки функции y=f(x)

4. Отметить стационарные и критические точки на числовой прямой и определить знаки производной на получившихся промежутках

5. Сделать выводы о монотонности функции и о ее точках экстремума

Статистическое исследование.

1 этап работы:

Проанализировав результаты опроса 11-ых классов, выявила темы, вызывающие наибольшие затруднения у учеников:

Тригонометрические уравнения - техника дифференцирования - Задачи на физический и геометрический смысл производной -Исследование функций при помощи производной - Текстовые задачи - Решение задач на определение площадей - Иррациональные уравнения и выражения - Рациональные уравнения и выражения.

Вывод: тема «Применение производной» содержится в первых 3-х темах, значит, она вызывает наибольшее затруднения.

2 этап работы :

изучение основных видов задач по теме «Применение производной в заданиях единого государственного экзамена»

Применение производной формате в

формате ЕГЭ

Геометрический смысл

Аналитический смысл

Физический смысл

Задачи на применение физического смысла производной

Задача 1.

x(t) = (½)×t² - t – 4 . Определите в какой момент времени t -- скорость V = 6м/с.

Решение.

1) (x(t))‘ = ((½)×t² ­ t - 4)’

2) V(t) = (s(t))’; (s(t))’ = (x(t))’;

V(t) = ((½)×t² – t – 4)’

V(t) = ((½)×t²)’– (t)’– (4)’

3) V(t) = 6м/с (по условию)

Ответ: 7 с.

Задача 2.

Материальная точка движется по закону

х(t) = 15 + 16×t – 3×t². Каким будет ускорение через 2 секунды после начала движения?

Решение .

V(t) = 15 + 16×t – 3×t²

(V(t))’ = (15 + 16×t – 3×t²)’

Т.к (V(t))’ = a (t)

a (t) = 16 – 6×t

a(t) = 16 – 6 ×2

a(t) = 4

Ответ: 4 м/с².

Задачи на применение геометрического смысла производной

Задача 1

Прямая y = 5 x − 3 параллельна касательной к графику функции y = x 2 + 2 x − 4. Найдите абсциссу точки касания.

Решение

Прямая параллельная касательной имеет одинаковый с ней угол наклона к оси абсцисс. Т.е., угловой коэффициент касательной (он же тангенс угла наклона) равен 5, как у заданной прямой. С другой стороны, мы знаем, что угловой коэффициент касательной равен производной функции в точке касания. Найдем производную: y "(x ) = (x 2 + 2 x − 4)" = 2 x + 2. Составим уравнение, подставив в выражение для производной неизвестную абсциссу точки касания x 0 . 2 x 0 + 2 = 5 2 x 0 = 5 − 2 = 3 x 0 = 3/2 = 1,5.

Ответ: 1,5

Задача 2. На рисунке 1 изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-10,5;19). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.

Решение

Производная функции положительна

на тех участках, где функция возрастает.

По рисунку видно, что это промежутки

(−10,5;−7,6), (−1;8,2) и (15,7;19). Перечис-

лим целые точки внутри этих интервалов:

"−10","−9", "−8","0", "1","2", "3","4", "5","6",

"7","8", "16","17", "18". Всего 15 точек.

Ответ: 15

Задача 3. На рисунке изображен график функции y = f (x ), определенной на интервале (-11;23). Найдите сумму точек экстремума функции на отрезке . Решение На указанном отрезке мы видим 2 точки экстремума. Максимум функции достигается в точке x 1 = 4, минимум в точке x 2 = 8. x 1 + x 2 = 4 + 8 = 12. Ответ: 12

Аналитический способ решения

Задача 1.

Найдите значение производной функции в точке x0=2

Решение а) Найдем значение производной функции:

б) Найдем значение производной функции в точке x0:

Ответ: 31

Задача 2.

Найти значение производной функции F(x)=(3x+1)2 -3 в точке x=2/3.

Решение.

Найдём производную сложной функции: F’(x)=6(x+1)=6x+6;

Найдём значение производной функции в точке x=2/3:

F’(2/3)=6(2/3)+6=10

Ответ:10

Производной функции $y = f(x)$ в данной точке $х_0$ называют предел отношения приращения функции к соответствующему приращению его аргумента при условии, что последнее стремится к нулю:

$f"(x_0)={lim}↙{△x→0}{△f(x_0)}/{△x}$

Дифференцированием называют операцию нахождения производной.

Таблица производных некоторых элементарных функций

Основные правила дифференцирования

1. Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных

$(f(x) ± g(x))"= f"(x)±g"(x)$

Найти производную функции $f(x)=3x^5-cosx+{1}/{x}$

Производная суммы (разности) равна сумме (разности) производных.

$f"(x) = (3x^5)"-(cos x)" + ({1}/{x})" = 15x^4 + sinx - {1}/{x^2}$

2. Производная произведения

$(f(x) · g(x))"= f"(x) · g(x)+ f(x) · g(x)"$

Найти производную $f(x)=4x·cosx$

$f"(x)=(4x)"·cosx+4x·(cosx)"=4·cosx-4x·sinx$

3. Производная частного

$({f(x)}/{g(x)})"={f"(x)·g(x)-f(x)·g(x)"}/{g^2(x)}$

Найти производную $f(x)={5x^5}/{e^x}$

$f"(x)={(5x^5)"·e^x-5x^5·(e^x)"}/{(e^x)^2}={25x^4·e^x-5x^5·e^x}/{(e^x)^2}$

4. Производная сложной функции равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции

$f(g(x))"=f"(g(x))·g"(x)$

$f"(x)=cos"(5x)·(5x)"=-sin(5x)·5= -5sin(5x)$

Физический смысл производной

Если материальная точка движется прямолинейно и ее координата изменяется в зависимости от времени по закону $x(t)$, то мгновенная скорость данной точки равна производной функции.

Точка движется по координатной прямой согласно закону $x(t)= 1,5t^2-3t + 7$, где $x(t)$ - координата в момент времени $t$. В какой момент времени скорость точки будет равна $12$?

1. Скорость – это производная от $x(t)$, поэтому найдем производную заданной функции

$v(t) = x"(t) = 1,5·2t -3 = 3t -3$

2. Чтобы найти, в какой момент времени $t$ скорость была равна $12$, составим и решим уравнение:

Геометрический смысл производной

Напомним, что уравнение прямой, не параллельной осям координат, можно записать в виде $y = kx + b$, где $k$ – угловой коэффициент прямой. Коэффициент $k$ равен тангенсу угла наклона между прямой и положительным направлением оси $Ох$.

Производная функции $f(x)$ в точке $х_0$ равна угловому коэффициенту $k$ касательной к графику в данной точке:

Следовательно, можем составить общее равенство:

$f"(x_0) = k = tgα$

На рисунке касательная к функции $f(x)$ возрастает, следовательно, коэффициент $k > 0$. Так как $k > 0$, то $f"(x_0) = tgα > 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением $Ох$ острый.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ убывает, следовательно, коэффициент $k < 0$, следовательно, $f"(x_0) = tgα < 0$. Угол $α$ между касательной и положительным направлением оси $Ох$ тупой.

На рисунке касательная к функции $f(x)$ параллельна оси $Ох$, следовательно, коэффициент $k = 0$, следовательно, $f"(x_0) = tg α = 0$. Точка $x_0$, в которой $f "(x_0) = 0$, называется экстремумом .

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и касательная к этому графику, проведённая в точке с абсциссой $x_0$. Найдите значение производной функции $f(x)$ в точке $x_0$.

Касательная к графику возрастает, следовательно, $f"(x_0) = tg α > 0$

Для того, чтобы найти $f"(x_0)$, найдем тангенс угла наклона между касательной и положительным направлением оси $Ох$. Для этого достроим касательную до треугольника $АВС$.

Найдем тангенс угла $ВАС$. (Тангенсом острого угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету.)

$tg BAC = {BC}/{AC} = {3}/{12}= {1}/{4}=0,25$

$f"(x_0) = tg ВАС = 0,25$

Ответ: $0,25$

Производная так же применяется для нахождения промежутков возрастания и убывания функции:

Если $f"(x) > 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ возрастает на этом промежутке.

Если $f"(x) < 0$ на промежутке, то функция $f(x)$ убывает на этом промежутке.

На рисунке изображен график функции $y = f(x)$. Найдите среди точек $х_1,х_2,х_3…х_7$ те точки, в которых производная функции отрицательна.

В ответ запишите количество данных точек.

ВНЕАУДИТОРНАЯ ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА 2

Преобразование графиков функций.

Цель

Постройте графики функций, используя различные преобразования, ответьте на вопрос задачи.

Выполнение работы

Методические указания

Работа рассчитана на 10 вариантов, номер варианта совпадает с последней цифрой порядкового номере в списке. Например, 1, 11, 21, 31 …выполняют 1 вариант, 2,12, 22 … - 2 вариант, и т.д.

Работа состоит из двух частей: первая часть задания 1 – 5, это задания которые обязательно нужно выполнить, чтобы получить зачет, если эти задания выполнены с ошибкой, необходимо их исправить и снова сдать работу на проверку. Вторая часть, содержит задания, выполнив которые, вы можете заработать дополнительную оценку: основная часть +2 задания – «4», основная часть +3 задания – «5».

Задание 1. Графиком линейной функции является прямая, для ее построения достаточно двух точек. (значения аргумента х берем произвольно, а значение функции у, считаем подставляя в формулу).

Чтобы проверить проходит ли график функции через указанную точку нужно координаты точки подставить вместо х и у, если получили верное равенство, то прямая проходит через указанную точку, в противном случае – не проходит.

Задание 2, 3, 4. Графики указанных функций получаются из графиков функций , используя сдвиг вдоль оси х или у.

, сначала строим график функции или , затем сдвигаем его на «а» единиц вправо или влево (+а – влево, - а вправо), затем сдвигаем на «в» единиц вверх или вниз (+в – вверх, -в – вниз)

Аналогично с другими функциями:

Задание 5 Чтобы построить график функции: , нужно: 1) построить график функции , 2) часть графика которая находится выше оси х оставить без изменения, 3) часть графика, которая находится ниже оси х зеркально отобразить.

Задачи для самостоятельного решения.

Обязательная часть

Задание 1. Постройте график линейной функции, определите, проходит ли график функции через указанную точку:

Задание 2. Постройте график квадратичной функции, укажите множество значений данной функции.

Задание 3. Постройте график функции, определите, возрастает или убывает указанная функция.

Задание 4. Постройте график функции, ответьте на вопрос задачи.

Задание 5. Постройте график функции, содержащей знак модуля.

Задачи на дополнительную оценку.

Задание 6. Постройте график функции, заданной кусочно, определите, есть ли точка разрыва у данной функции:

Задание 7. Определите, сколько решений имеет система уравнений, отвеет обоснуйте. Сделайте выводы, ответив на вопросы.

Графики каких функций вы строили в данной работе?

Как называется график линейной функции?

Как называется график квадратичной функции?

Какие преобразования графиков вы знаете?

Как в системе координат располагается график четной функции? График нечетной функции?

Показывающая связь знака производной с характером монотонности функции.

Пожалуйста, будьте предельно внимательны в следующем. Смотрите, график ЧЕГО вам дан! Функции или ее производной

Если дан график производной , то интересовать нас будут только знаки функции и нули. Никакие «холмики» и «впадины» не интересуют нас в принципе!

Задача 1.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Определите количество целых точек, в которых производная функции отрицательна.

Решение:

На рисунке выделены цветом области убывания функции :

В эти области убывания функции попадает 4 целые значения .

Задача 2.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой (или, что тоже самое, ), имеющей угловой коэффициент , равный нулю, то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что касательная параллельна оси , так как угловой коэффициент есть тангенс угла наклона касательной к оси .

Поэтому мы находим на графике точки экстремума (точки максимума и минимума), – именно в них касательные к графику функции будут параллельны оси .

Таких точек – 4.

Задача 3.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой или совпадает с ней.

Решение:

Раз касательная к графику функции параллельна (или совпадает) прямой , имеющей угловой коэффициент , то и касательная имеет угловой коэффициент .

Это в свою очередь означает, что в точках касания.

Поэтому смотрим, сколько точек на графике имеют ординату , равную .

Как видим, таких точек – четыре.

Задача 4.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите количество точек, в которых производная функции равна 0.

Решение:

Производная равна нулю в точках экстремума. У нас их 4:

Задача 5.

На рисунке изображён график функции и одиннадцать точек на оси абсцисс:. В скольких из этих точек производная функции отрицательна?

Решение:

На промежутках убывания функции её производная принимает отрицательные значения. А убывает функция в точках. Таких точек 4.

Задача 6.

На рисунке изображен график функции , определенной на интервале . Найдите сумму точек экстремума функции .

Решение:

Точки экстремума – это точки максимума (-3, -1, 1) и точки минимума (-2, 0, 3).

Сумма точек экстремума: -3-1+1-2+0+3=-2.

Задача 7.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Решение:

На рисунке выделены промежутки, на которых производная функции неотрицательная.

На малом промежутке возрастания целых точек нет, на промежутке возрастания четыре целых значения : , , и .

Их сумма:

Задача 8.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите промежутки возрастания функции . В ответе укажите длину наибольшего из них.

Решение:

На рисунке выделены цветом все промежутки, на которых производная положительна, а значит сама функция возрастает на этих промежутках.

Длина наибольшего из них – 6.

Задача 9.

На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . В какой точке отрезка принимает наибольшее значение.

Решение:

Смотрим как ведет себя график на отрезке , а именно нас интересует только знак производной .

Знак производной на – минус, так как график на этом отрезке ниже оси .