ОСТРЫЕ УГЛЫ КОРТА Известно, что у корта четыре угла. Но, образно говоря, если под теннисной площадкой подразумевать арену деятельности Международной федерации тенниса, то можно сказать, что на ней появились еще два угла, и весьма острые. Эти острые углы образованы

→ Что такое "дополнительный угол"?

13. Что такое дополнительные работы и как они считаются?

Что такое "дополнительный угол"? Небольшие выступы тоже будут считаться дополнительными углами?

Монтаж натяжного потолка без дополнительных работ делается просто. Для этого нужно закрепить стенов ой профиль вверху стен и заправить в него нагретое газовым нагревателем полотно. Но в большинстве случаев на натяжном потолке требуется располагать различные светильники и конструкции, такие как люстра, гардина, встраиваемые светильники, решетка вентиляции, лючок с доступом за натяжной потолок, установка вентилятора в натяжной потолок закладные под шкаф-купе или жалюзи, обход труб, дополнительные углы (если помещение имеет больше 4х углов) и т.д .

Универсальные площадки для монтажа светильников

Для качественного выполнения таких работ требуется выполнить специальные конструкции, пластиковые шаблоны, индивидуальные для каждого конкретного случая, нарастить или проложить электр опроводку. Таким образом, дополнительные работы - это изготовление нужной конструкции по уровню будущего потолка и крепеж нужного предмета на данную конструкцию после натяжки полотна.

Что такое "дополнительный угол"?

Если чертеж периметра помещения сверху получается фигурным, многоугольным - т.е. имеет более четырех углов, то эти последующие углы (5й, 6й, 7й и т.д.) считаются дополнительными. Маркировка углов делается латинскими буквами по часовой стрелке.

При замере криволинейного потолка, на изгибах наносятся метки, которые разбивают длинную кривую на короткие прямые участки от 10 до 60см. В этом случае дополнительных углов может быть много, и если латинского алфавита не хватает, то к буквам прибавляются цифры: X,Y,Z,A1,B1,C1 и так далее. Подсчет стоимости такого потолка делается не по количеству дополнительных углов, а по длине криволинейного участка в метрах - так получается дешевле.

Схема натяжного потолка с криволинейным участком

Длина участка E-N составила 243см (2,5 м криволинейной поверхности).

Небольшие выступы тоже будут считаться дополнительными углами?

Бывает, что на стене при профиля имеются различные препятствия (переходы уровня стен с бетона на кафель, бортики и выемки у шкафа-купе и т.д). Если разность такого перехода не более 3см, то это может не считаться дополнительным углом, но при монтаже стенового профиля необходимо сделать аккуратный обход данных препятствий, на что необходимо обратить внимание при заказе натяжного потолка.

Для таких обходов выступов не требуется делать специальный вырез в полотне натяжного потолка. Из-за того, что полотно делается на 5-10% меньше размера помещения, складки на таких специальных неровностях профиля не возникают. Другое дело, что не все рабочие хотят возиться с аккуратным обходом таких небольших выступов.

На уроках алгебры учителя рассказывают, что существует небольшой (на самом деле — очень даже большой) класс тригонометрических уравнений, которые не решаются стандартными способами — ни через разложение на множители, ни через замену переменной, ни даже через однородные слагаемые. В этом случае в дело вступает принципиально другой подход — метод вспомогательного угла.

Что это за метод и как его применять? Для начала вспомним формулы синуса суммы/разности и косинуса суммы/разности:

\[\begin{align}& \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\& \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\\end{align}\]

Думаю, эти формулы хорошо знакомы вам — из них выводятся формулы двойного аргумента, без которых в тригонометрии вообще никуда. Но давайте теперь рассмотрим простое уравнение:

Разделим обе части на 5:

Заметим, что ${{\left(\frac{3}{5} \right)}^{2}}+{{\left(\frac{4}{5} \right)}^{2}}=1$, а это значит, что обязательно найдётся такой угол $\alpha $, для которого эти числа являются соответственно косинусом и синусом. Поэтому наше уравнение перепишется следующим образом:

\[\begin{align}& \cos \alpha \sin x+\sin \alpha \cos x=1 \\& \sin \left(\alpha +x \right)=1 \\\end{align}\]

А это уже легко решается, после чего останется лишь выяснить, чему равен угол $\alpha $. Как это выяснить, а также как правильно подбирать число для деления обеих частей уравнения (в данном простом примере мы делили на 5) — об этом в сегодняшнем видеоуроке:

Сегодня мы будем разбирать решение тригонометрических уравнений, а, точнее, один-единственный прием, который называется «метод вспомогательного угла». Почему именно этот метод? Просто потому, что за последние два-три дня, когда я занимался с учениками, которым рассказывал о решении тригонометрических уравнений, и мы разбирали, в том числе, метод вспомогательного угла, и все ученики как один допускают одну и ту же ошибку. А ведь метод вообщем-то несложный и, более того, это один из основных приемов в тригонометрии. Поэтому многие тригонометрические задачи иначе как методом вспомогательного угла вообще не решаются.

Поэтому сейчас для начала мы рассмотрим пару простеньких задач, а потом перейдем к задачам посерьезней. Однако все эти они так или иначе потребуют от нас применение метода вспомогательного угла, суть которого я расскажу уже в первой конструкции.

Решение простых тригонометрических задач

Пример № 1

\[\cos 2x=\sqrt{3}\sin 2x-1\]

Немного преобразуем наше выражение:

\[\cos 2x-\sqrt{3}\sin 2x=-1\left| \left(-1 \right) \right.\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=1\]

Как мы будем решать его? Стандартный прием состоит в том, чтобы раскрыть $\sin 2x$ и $\cos 2x$ по формулам двойного угла, а затем переписать единицу как ${{\sin }^{2}}x{{\cos }^{2}}x$, получить однородное уравнение, привести его к тангенсам и решить. Однако это долгий и нудный путь, который требует большого объема вычислений.

Предлагаю задуматься вот на чем. У нас есть $\sin $ и $\cos $. Вспомним формулу косинуса и синуса суммы и разности:

\[\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha +\beta \right)=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \]

\[\cos \left(\alpha -\beta \right)=\cos a\cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \]

Вернемся к нашему примеру. Все сведем к синусу разности. Но для начала уравнение необходимо немного преобразовать. Найдем коэффициент:

$\sqrt{l}$ — это тот самый коэффициент, на который необходимо разделить обе части уравнения, чтобы перед синусом и косинусом появились числа, которые сами по себе являются синусами и косинусами. Давайте разделим:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

Посмотрим на то, что у нас получилось слева: существует ли такой $\sin $ и $\cos $, чтобы $\cos \alpha =\frac{\sqrt{3}}{2}$, а $\sin \alpha =\frac{1}{2}$? Очевидно существует: $\alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}$. Поэтому мы можем переписать наше выражение следующим образом:

\[\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \sin 2x-\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}\cdot \cos 2x=\frac{1}{2}\]

\[\sin 2x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}-\cos 2x\cdot \sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\frac{1}{2}\]

Теперь перед нами формула синуса разности. Мы можем написать так:

\[\sin \left(2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}} \right)=\frac{1}{2}\]

Перед нами простейшая классическая тригонометрическая конструкция. Напомню:

Это и запишем для нашего конкретного выражения:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}=2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{6}}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align}& 2x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x=\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{6}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{2}+\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Нюансы решения

Итак, что нужно делать, если вам попалось подобный пример:

1. Преобразовать конструкцию, если нужно.
2. Найти поправочный коэффициент, взять из него корень и разделить обе части примера на него.
3. Смотрим, какие значения синуса и косинуса получаются у чисел.
4. Раскладываем уравнение по формулам синуса или косинуса разности или суммы.
5. Решаем простейшее тригонометрическое уравнение.

В связи с этим у внимательных учеников наверняка возникнет два вопроса.

Что нам мешает на этапе нахождения поправочного коэффициента записать $\sin $ и $\cos $? — Нам мешает основное тригонометрическое тождество. Дело в том, что полученные $\sin $ и $\cos $, как любые другие при одном и том же аргументе, должны при возведении в квадрат в сумме давать ровно «единицу». В процессе решения нужно быть очень внимательным и не потерять «двойку» перед «иксами».

Метод вспомогательного угла — это инструмент, который помогает свести «некрасивое» уравнение к вполне адекватному и «красивому».

Пример № 2

\[\sqrt{3}\sin 2x+2{{\sin }^{2}}x-1=2\cos x\]

Мы видим, что у нас есть ${{\sin }^{2}}x$, поэтому давайте воспользуемся выкладками понижения степеней. Однако прежде чем ними воспользоваться, давайте их выведем. Для этого вспомним, как найти косинус двойного угла:

\[\cos 2x={{\cos }^{2}}x-{{\sin }^{2}}x=2{{\cos }^{2}}x-1=1-2{{\sin }^{2}}x\]

Если мы запишем $\cos 2x$ в третьем варианте, то получим:

\[\cos 2x=1-2{{\sin }^{2}}x\]

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-{{\cos }^{2}}x}{x}\]

Я выпишу отдельно:

\[{{\sin }^{2}}x=\frac{1-\cos 2x}{2}\]

То же самое можно сделать и для ${{\cos }^{2}}x$:

\[{{\cos }^{2}}x=\frac{1+\cos 2x}{2}\]

Нам потребуется только первые выкладки. Давайте приступим к работе над задачей:

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+2\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x+1-\cos 2x-1=2\cos x\]

\[\sqrt{3}\cdot \sin 2x-\cos 2x=2\cos x\]

Теперь воспользуемся выкладками косинуса разности. Но для начала посчитаем поправку $l$:

Перепишем с учетом этого факта:

\[\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \sin 2x-\frac{1}{2}\cdot \cos 2x=\cos x\]

В этом случае мы можем записать, что $\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$, а $\frac{1}{2}=\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}$. Перепишем:

\[\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \sin 2x-\cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}\cdot \cos 2x=\cos x\]

\[-\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos x\]

Внесем «минус» в скобку хитрым способом. Для этого заметим следующее:

\[\cos \left(\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ +}\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{3}}+2x \right)=\]

\[=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right)=\cos \left(\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }+\varphi \right)=-\cos \varphi \]

Возвращаемся к нашему выражению и вспоминаем, что в роли $\varphi $ у нас выражение $-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x$. Поэтому запишем:

\[-\left(-\cos \left(-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2x \right) \right)=\cos x\]

\[\cos \left(2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3} \right)=\cos x\]

Чтобы решить подобною задачу, нужно вспомнить такое:

\[\cos \alpha =\cos \beta \]

\[\left[ \begin{align}& \alpha =\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& \alpha =-\beta +2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Разберемся с нашим примером:

\[\left[ \begin{align}& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& 2x-\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}=-x+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\\end{align} \right.\]

Давайте посчитаем каждое из этих уравнений:

И вторую:

Запишем окончательный ответ:

\[\left[ \begin{align}& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{3}+2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n \\& x=\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{9}+\frac{2\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }n}{3} \\\end{align} \right.\]

Нюансы решения

На самом деле, это выражение решается множеством различных способов, однако именно метод вспомогательного угла является в данном случае оптимальным. Кроме того, на примере данной конструкции хотелось бы обратить ваше внимание еще на несколько интересных приемов и фактов:

• Формулы понижения степеней. Эти формулы не нужно запоминать, однако нужно знать, как их выводить, о чем я вам сегодня и рассказал.
• Решение уравнений вида $\cos \alpha =\cos \beta $.
• Добавление «нуля».

Но и это еще не все. До сих пор $\sin $ и $\cos $, которые мы выводили в качестве дополнительного аргумента, мы считали, что они должны быть положительными. Поэтому сейчас мы решим более сложные задачи.

Разбор более сложных задач

Пример № 1

\[\sin 3x+4{{\sin }^{3}}x+4\cos x=5\]

Преобразуем первое слагаемое:

\[\sin 3x=\sin \left(2x+x \right)=\sin 2x\cdot \cos x+\cos 2x\cdot \sin x\]

\[=2\left(1-\cos 2x \right)\cdot \sin x\]

А теперь подставим все это в нашу исходную конструкцию:

\[\sin 2x\cos x+\cos 2x\sin x+2\sin x-2\cos x\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin 2x\cos x-\operatorname{cosx}-cos2\sin x+2\sin x+4\cos x=5\]

\[\sin \left(2x-x \right)+2\sin x+4\cos x=5\]

Давайте введем нашу поправку:

Записываем:

\[\frac{3}{5}\sin x+\frac{4}{5}\cos x=1\]

Таких $\alpha $, для которых $\sin $ или $\cos $ был бы равен $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{5}$ в тригонометрической таблице нет. Поэтому давайте просто так и напишем и сведем выражение к синусу суммы:

\[\sin x\cdot \cos \varphi +\cos x\cdot \sin \varphi =1\]

\[\sin \left(x+\varphi \right)=1\]

Это частный случай, простейшая тригонометрическая конструкция:

Осталось найти, чему равен $\varphi $. Именно в этом месте многие ученики ошибаются. Дело в том, что на $\varphi $ накладываются два требования:

\[\left\{ \begin{align}& \cos \varphi =\frac{3}{5} \\& \sin \varphi =\frac{4}{5} \\\end{align} \right.\]

Начертим радар и посмотрим, где такие значения встречаются:

Возвращаясь к нашему выражению, мы напишем следующее:

Но и эту запись можно немного оптимизировать. Поскольку мы знаем следующее:

\[\alpha:\arcsin \alpha +\arccos \alpha =\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{2}},\]

то в нашем случае можно записать так:

Пример № 2

Здесь потребуется еще более глубокое понимание методик решения стандартных задач без тригонометрии. Но для решения этого примера мы также используем метод вспомогательного угла.\[\]

Первое, что бросается в глаза — здесь нет степеней выше первой и поэтому ничего нельзя разложить по формулам разложения степеней. Воспользуется обратными выкладками:

Зачем я разложил $5$. Вот смотрите:

Единицу по основному тригонометрическому тождеству мы можем расписать как ${{\sin }^{2}}x+{{\cos }^{2}}x$:

Что дает нам такая запись? Дело в том, что в первой скобке стоит точный квадрат. Свернем его и получим:

Предлагаю ввести новую переменную:

\[\sin x+\cos x=t\]

В этом случае мы получим выражение:

\[{{t}_{1}}=\frac{5+1}{4}=\frac{3}{2}\]

\[{{t}_{2}}=\frac{5-1}{4}=1\]

Итого мы получаем:

\[\left[ \begin{align}& \sin x+\cos x=\frac{3}{2} \\& \sin x+\cos x=1 \\\end{align} \right.\]

Разумеется, знающие ученики сейчас скажут, что такие конструкции легко решаются с помощью сведения к однородному. Однако мы решим каждое уравнение методом вспомогательного угла. Для этого сначала посчитаем поправку $l$:

\[\sqrt{l}=\sqrt{2}\]

Разделим все на $\sqrt{2}$:

\[\left[ \begin{align}& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Все сведем к $\cos $:

\[\cos x\cdot \cos \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4}+\sin x\sin \frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}}\]

\[\left[ \begin{align}& \cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{\text{4}} \right)=\frac{3}{2\sqrt{2}} \\& \cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)=\frac{\sqrt{2}}{2} \\\end{align} \right.\]

Разбираемся с каждым из этих выражений.

Первое уравнение корней не имеет, и для доказательства этого факта нам поможет иррациональность в знаменателе. Заметим следующее:

\[\sqrt{2}<1,5\]

\[\frac{3}{2\sqrt{2}}>\frac{3}{3\cdot 1,5}=\frac{3}{3}=1\]

Итого мы четко доказали, что требуется, чтобы $\cos \left(x-\frac{\text{ }\!\!\pi\!\!\text{ }}{4} \right)$ был равен числу, которое большее «единицы» и, следовательно, у этой конструкции корней нет.

Разбираемся со вторым:

Решаем эту конструкцию:

В принципе, можно оставить ответ таким, а можно его расписать:

Важные моменты

В заключение хотел бы еще раз обратить ваше внимание на работу с «некрасивыми» аргументами, т.е. когда $\sin $ и $\cos $ не являются табличными значениями. Проблема состоит в том, что если мы утверждаем, что в нашем уравнении $\frac{3}{5}$ — это $\cos $, а $\frac{4}{5}$ — это $\sin $, то в итоге, после того как мы решим конструкцию, нужно учитывать оба этих требования. Мы получаем систему из двух уравнений. Если мы не будем это учитывать, то получим следующую ситуацию. В этом случае мы получим две точки и на месте $\varphi $ у нас окажется два числа: $\arcsin \frac{4}{5}$ и $-\arcsin \frac{4}{5}$, однако последний нас ни в коем случае не устраивает. То же самое будет и с точкой $\frac{3}{5}$.

Такая проблема возникает только тогда, когда речь идет о «некрасивых» аргументах. Когда у нас табличные значения, то ничего такого нет.

Надеюсь, сегодняшний урок помог вам разобраться, что такое метод вспомогательного угла и как его применять на примерах разного уровня сложности. Но это не единственный урок, посвященный решению задач методом вспомогательного угла. Поэтому оставайтесь с нами!