Оптимальная стратегия замены оборудования. Выбор оптимальной стратегии ремонта и замены оборудования

В процессе эксплуатации оборудование подвергается физическому и моральному износу. Существует два способа восстановления оборудования - полное и частичное. При полном восстановлении оборудование меняется на новое, при частичном оборудование ремонтируется. Для оптимального использования оборудования нужно найти возраст, при котором его необходимо заменить, чтобы доход от машины был максимальным или, если доход подсчитать не удается, издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды были минимальными. Данный подход рассматривается с позиции экономических интересов потребителя.

Для оптимизации ремонта и замены оборудования требуется разработать на плановый период стратегию по замене машины. В качестве экономических интересов может быть использован один из двух подходов:

1. Максимум дохода от машины за определенный промежуток времени.

2. Минимум затрат на ремонтно-эксплуатационный нужды, если доход подсчитать не удается.

Данная задача решается методом динамического программирования. Основная идея этого метода заключается в замене одновременного выбора большего количества параметров поочередным их выбором. Этим методом могут быть решены самые различные задачи оптимизации. Общность подхода к решению самых различных задач является одним из достоинств этого метода.

Рассмотрим механизм оптимизации ремонта и замены оборудования. Для решения задачи введем следующие обозначения:

t - возраст оборудования;

d(t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

U(t) - издержки на ремонтно-эксплуатационные нужды машины возраста t;

С - цена нового оборудования.

Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n - лет у нас была машина возраста t - лет.

Алгоритм решения задачи следующий:

1) f 1 (t) = max d(0) - С

2) f n (t) = max f n-1 (t+1) + d(t)

f n-1 (1) + d(0) - С

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так:

d(t) = r(t) - u(t)

r(t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно - эксплуатационные нужды

оборудования возраста t.

Подход максимизации дохода

Для решения этой задачи введем функцию f n (t) , которая показывает величину максимального дохода за последние n - лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет.

Если до конца периода остался 1 год

Если до конца периода осталось n лет

где t - возраст оборудования;

d (t) - чистый годовой доход от оборудования возраста t;

C - цена нового оборудования.

Увеличение издержек приведет к снижению чистого дохода, который рассчитывается так

d(t) = r(t) - u(t)

где r (t) - годовой объем дохода от оборудования возраста t;

u(t) - годовые затраты на ремонтно-экплуатационные нужды оборудования возраста t.

Рассчитаем чистый доход по формуле, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт.

Таблица 2. Чистый доход от оборудования по годам

Рассчитаем оптимальную стратегию замены и сохранения оборудования, зная динамику поступления дохода и роста издержек на ремонт и цену нового изделия С=44 усл. ед.

Таблица 3. Стратегия замены оборудования

Поле сохранения Поле замены

Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 3 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:

F 10 (2) = 34 + 30 + 26 + 24 - 2 + 38 + 34 + 30 + 26 + 24 = 264

Подход минимизации затрат

В случае, если доход подсчитать не удается, в качестве экономических интересов может быть использован подход минимума затрат на ремонтно-эксплуатационные нужды при разработке стратегии по замене оборудования на плановый период. В данном случае, формулы расчета примут следующий вид:

Если до конца периода остался 1 год:

Если до конца периода осталось n лет:

где f n (t) - функция, которая показывает величину минимальных издержек за последние n-лет при условии, что в начале периода из n-лет у нас было оборудование возраста t-лет;

u(t) - издержки от оборудования возраста t-лет.

Таблица 4

Поле сохранения Поле замены

Построим «оптимальную» стратегию замены оборудования на период 10 лет, которому в начале замены было 1 год. В таблице 4 она показана стрелками, а в сокращенной записи будет иметь следующий вид:

С - С - С - С - З - С - С - С - С - С

Чистый доход за 10 лет от оборудования возраста 1 год при выборе этой стратегии замены составит:

F 10 (2) = 3 + 4 + 6 + 7 + 43 + 1 + 3 + 4 + 6 + 7 = 84

Борис Кац, руководитель проекта ООО «АйТиЭм» кандидат технических наук.

Как же добиться эффективного управления процессами ТОиР?

Перефразируя Питера Друкера:

«Эффективно управлять возможно лишь тем, что можно достоверно и оперативно измерить»

Сначала стратегия, а потом ремонт

Прежде чем развивать тему управления процессами ТОиР, надо сказать о возможных стратегиях проведения ремонтов.

Первая стратегия - это курс на применение «классической» системы ППР, характерными особенностями которой являются: «жесткий» ремонтный цикл (заранее заданная - как правило, изготовителем последовательность ремонтов определенного вида и времен между ними); «жесткое» задание объема работ при выполнении ремонта определенного вида.

В варианте «классической» системы ППР, называемом «планирование по наработке», при сохранении фиксированной последовательности ремонтов и их заданных объемах время между ремонтами определяется не по календарю, а в зависимости от некоторого показателя, характеризующего наработку оборудования (часы работы, литры горючего, километры пробега, число пусков и т. п.).

Другая достаточно распространенная стратегия - «ремонт по отказу». При этом оборудование ремонтируется (или заменяется) только тогда, когда его дальнейшее использование становится невозможным вследствие отказа. Ошибочно считать, что такая «примитивная» стратегия заведомо плоха. Для некоторых видов оборудования она и технически, и экономически оправдана. Технически - в том случае, если отказы элементов имеют «абсолютно случайный» характер, то есть практически не зависят от длительности их работы (такой тип отказа характерен, например, для электронных компонент КИП и А).

Экономическая оправданность появляется в тех случаях, когда последствия поломки незначительны, а меры профилактики стоят дороже, чем замена отказавшего узла или устройства.

Более «изощренный» вариант этой стратегии - «ремонт по мере возникновения дефектов». В этом случае ремонт или замена может проводиться не только в случае отказа, но и при появлении явных свидетельств приближения отказа (повышенная вибрация, течь масла, повышение температуры выше допустимой, явные признаки недопустимого износа).

Наконец, третья стратегия - «ремонт по состоянию». При этой стратегии объем ремонтов и время между ними не фиксированы заранее и определяются по результатам регулярных ревизий (обследований) оборудования, а также по результатам мониторинга состояния оборудования с помощью автоматизированных средств контроля (вибродиагностика и т. п.). Эта стратегия считается наиболее прогрессивной в применении к сложному и дорогостоящему оборудованию, так как позволяет существенно экономить ресурсы.

Не только экономия бумаги

При любой выбранной стратегии ремонтов планирование и учет выполненных работ являются весьма трудоемкими. Поэтому при использовании традиционных «бумажных» методов учета ни о прозрачности, ни об оперативности говорить не приходится. В лучшем случае планы доводятся до исполнителей раз в год, и даже простейший учет выполнния ведется крайне редко. Тем более невозможно переходить на ремонт по состоянию (или хотя бы «с учетом состояния») - ведь сначала это состояние необходимо измерить, учесть, сохранить его историю.

Только применение ЕАМ-систем (информационных систем управления ТОиР - ИСУ ТОиР) может придать новый импульс и получить принципиально новое качество управления процессами ППР. Получаемое новое качество состоит не только в безбумажных технологиях, повышении прозрачности процесса проведения ТОиР, точности и оперативности учета ресурсов. Появляются ранее отсутствовавшие возможности по анализу результатов ТОиР в целом по предприятию, по анализу тенденций и трендов - и тем самым закладывается возможность оптимального выбора стратегии ремонтов.

Реальный опыт использования EAM-систем на российских предприятиях не так уж велик - всего несколько сотен внедрений. При этом такие системы в настоящее время используются преимущественно как удобный инструмент планирования и оперативного управления процессами ТОиР. Поэтому наибольшей популярностью пользуются функции:

• календарного и ресурсного планирования,
• учета дефектов,
• учета расходования запчастей и материалов.

Примером автоматизации упомянутых функций может служить Северо-Западная ТЭЦ (г. Санкт-Петербург), на которой учет дефектов с 2002 года ведется в электронном виде. Дефекты регистрирует дежурная смена (круглосуточно). При этом дефект привязывается к оборудованию, заранее учтенному в базе данных. Затем - не сходя с рабочего места - начальник или заместитель начальника соответствующего цеха назначает мастера, ответственного за устранение дефекта, и указывает плановые сроки устранения. Мастер видит задание на своем компьютере. По окончании работы он делает отметку о выполнении, затем дефект принимает дежурная смена. При необходимости система «помогает» составить акт дефектации и акт выполненных работ.

Календарное планирование на Северо-Западной ТЭЦ также ведется в электронном виде. Годовой план ППР составляется автоматически, на основе заданной периодичности ремонтов. После согласования с цехами план поступает в работу. Исполнители ремонтов отмечают на компьютере их выполнение, вводя отчет по работе. ОППР (отдел подготовки и проведения ремонтов) оперативно отслеживает своевременность выполнения работ.

Однако на большинстве предприятий, использующих системы EAM, управление ТОиР ведется преимущественно на «микроуровне», то есть на уровне отдельной работы, дефекта и т. п. Значительно реже данные из EAM-систем используются для управления ТОиР на уровне предприятия. Богатейшие возможности контроля и анализа, которые могут дать EAM-системы, остаются невостребованными.

От информационной системы - к системе управления ТОиР

Для того чтобы обеспечить управление процессами ТОиР на верхнем уровне (цех, предприятие), а также для анализа эффективности управления на длительных временных интервалах, руководитель должен оперативно получать достоверные данные из ЕАМ-системы в агрегированном виде, то есть в виде системы показателей.

Важное условие успешности управления - выбор системы показателей для системы ТОиР конкретного предприятия.Зачастую разработчики EAM-системы заявляют, что могут выдать заказчику любые показатели. А когда дело доходит до внедрения, они предлагают заказчику самому назвать требуемые показатели, оставляя за собой только вопросы программной реализации. Но заказчик (за редкими исключениями) не может этого сделать, так как подобными вопросами не занимался и к тому же не знает досконально возможностей новой для него EAM-системы. В то же время типовую систему показателей вполне реально (путем диалога с заказчиком) адаптировать под нужды конкретного предприятия.

Какова же должна быть система показателей? Понятно, что она обязана ориентироваться, с одной стороны, на цели, которые ставит перед предприятием руководитель, с другой стороны - на достигнутый уровень управления и автоматизации. Кроме того, мы должны иметь достаточно удобные средства прослеживания, позволяющие «спускаться» по дереву показателей - от предприятия к цеху и участку, от технологической системы или агрегата к отдельной машине, от общих показателей к более частным (рис. 1), вплоть до микро-объектов, из которых этот показатель складывается. Такое прослеживание позволяет аналитику понять, какая из составляющих вносит наибольший вклад в итоговый показатель, и тем самым подсказать необходимое управляющее воздействие. Кроме того, для ряда показателей желательно назначить допустимые границы («тревожные» и аварийные). «Управление по отклонениям» позволяет сосредоточиться на показателях, выходящих за эти границы.

Рис. 1. График затрат на ТОиР - пример мониторинга общего показателя и его частных составляющих

Условно можно разделить совокупность показателей на несколько групп.

1. Первая группа обеспечивает достижение и поддержание элементарного порядка в планировании ремонтов и отчетности по их проведению, контроль исполнительской дисциплины при календарном планировании. В набор показателей на этом уровне входит количество запланированных, выполненных в срок, просроченных и невыполненных работ, процент выполнения плана (рис. 2) и т. п.

Рис. 2. Данные по выполнению плана ремонтов

2. Вторая группа - учет и контроль при ресурсном планировании (материалы и запчасти в натуральном и денежном выражении, трудовые ресурсы, расходы на поставщиков). Первые два слоя дают руководству предприятия и его подразделений средства учета и контроля, ориентированные, прежде всего, на оперативные («административные») средства управления. Они не направлены на изменение принятой системы проведения ТОиР или хотя бы на изменение параметров этой системы (например, периодичность проведения ТОиР).

3. Третья группа обеспечивает средства анализа для изменения (совершенствования) принятой на предприятии системы ТОиР (или параметров этой системы) и ориентирована на использование инженерно-техническими службами. В эту группу входят показатели, отражающие статистику повреждаемости оборудования (статистика дефектов и отказов по видам оборудования, по видам дефектов, а также по причинам и последствиям отказов и дефектов, а также параметры распределения времен между дефектами и времен устранения дефектов).

Анализ повреждаемости оборудования одного из предприятий показал, что большинство дефектов выявлено на относительно небольшом количестве оборудования (рис. 3). Предложено сосредоточить средства и ресурсы именно на этом, «больном» оборудовании, несколько уменьшив частоту проведения ППР на «здоровом» оборудовании. Ожидается, что это может дать значительную экономию средств без снижения работоспособности оборудования.

Использование показателей третьей группы наиболее перспективно для крупных предприятий, так как именно оптимизация системы проведения ТОиР может дать для них наибольший эффект.

В то же время именно показатели третьей группы наименее разработаны, а их применение наиболее редко встречается.

Рис. 3. Диаграмма распределения оборудования по числу дефектов

Регламент и еще раз регламент!

Мало разработать систему показателей и иметь соответствующие программные средства для ее поддержки. Для каждого из показателей необходим регламент его получения, который должен обеспечить полный и своевременный ввод необходимых исходных данных, постоянный анализ результатов мониторинга показателей. Так, например, для обеспечения анализа дефектов по видам, причинам, последствиям необходимо не только разработать многоаспектную классификацию дефектов, но и обеспечить описание всех дефектов в соответствии с разработанной классификацией.

Так, анализ причин дефектов с помощью информационной системы на предприятии электроэнергетики показал, что один из наиболее распространенных отказов связан с дефектом подшипников качения. Получив данные по количеству таких дефектов и подсчитав затраты на их устранение, руководство согласилось с предложением о выделении средств на модернизацию (замену типа подшипников).

Примеры обратного свойства - весьма многочисленны. Так, в большинстве случаев, даже внедрив электронный журнал дефектов, не удается заставить персонал «раскладывать по полочкам» все дефекты по мере их устранения. Это приводит к существенному ограничению возможностей автоматизированного анализа повреждаемости

К сожалению, в настоящее время на большинстве предприятий нет должностных лиц, в обязанности которых входил бы регулярный анализ данных, поступающих из EAM-систем. Отсутствуют навыки такого анализа, нет регламентов, которые бы определяли порядок использования аналитических данных. Поэтому очень важными являются определение правильной этапности внедрения системы управления ТОиР, выработка «стартового» состава показателей и последовательности его дальнейшего расширения - и одновременно разработка организационного обеспечения, гарантирующего как полный и своевременный ввод первичных данных, так и обязательную реакцию управленцев на выход итоговых показателей за установленные пределы. Только через обеспечение обратной связи в цепочке управления процессами ТОиР можно рассчитывать на эффективное воздействие управленцев на работу этой системы.

Необходимые условия

Для того чтобы полноценно использовать те возможности по анализу и управлению, которые могут предоставить EAM-системы, необходимо, по нашему мнению, выполнение следующих условий.

1. Наличие на предприятии «узаконенной» системы показателей, которые бы описывали процессы ТОиР на макроуровне (укрупненным образом).
2. Наличие программных средств, позволяющих обеспечить оперативное и объективное получение таких показателей, их хранение и удобное отображение.
3. Введение в действие «узаконенного» и работающего регламента, обеспечивающего регулярный ввод в ИСУ ТОиР исходных данных, необходимых для расчета указанных показателей.
4. Назначение людей, которые в силу своих должностных обязанностей должны использовать результаты анализа в своей работе и, что немаловажно, способны использовать эти данные, вырабатывая на их основе необходимые управляющие воздействия.

Все эти составляющие должны закладываться в проект внедрения ИСУ ТОиР уже на этапе проектирования. При этом разработчик информационно-управляющей системы предлагает заказчику номенклатуру готовых типовых решений (набор показателей, типовые регламенты, программное обеспечение для анализа), и далее, в диалоге с разработчиком заказчик, отталкиваясь от типовых решений, вырабатывает свою стартовую систему показателей, регламент ее поддержания и использования.

В дальнейшем, по мере накопления опыта использования ИСУ ТОиР на предприятии, система показателей может расширяться, обеспечивая решение более широкого круга задач по управлению процессами ТОиР.

В заключение следует подчеркнуть, что только работающая система мониторинга показателей качества процессов ТОиР в сочетании с системой выработки управляющих решений на основе анализа этих показателей способна превратить информационную систему EAM в полноценную систему управления ТОиР.

Определить оптимальную стратегию использования оборудования в период времени длительностью т лет, причем прибыль за каждые i лет, i = от использования оборудования возраста t лет должна быть максимальной.

Известны

r (t ) – выручка от реализации продукции, произведенной за год на оборудовании возраста t лет;

l (t ) – годовые затраты, зависящие от возраста оборудования t;

с (t ) – остаточная стоимость оборудования возраста t лет;

Р – стоимость нового оборудования.

Под возрастом оборудования понимается период эксплуатации оборудования после последней замены, выраженный в годах.

Воспользуемся приведенными выше этапами составления математической модели задачи.

1. Определение числа шагов. Число шагов равно числу лет, в течение которого эксплуатировалось это оборудование.

2. Определние состояний системы. Состояние системы характеризуется возрастом оборудования t , t= .

3. Определение уравнений. В начале i -го шага, i = может быть выбрано одно из двух управлений: заменять или не заменять оборудование. Каждому варианту управления приписывается число

4. Определение функции выигрыша на i -ом шаге. Функция выигрыша на i -ом шаге – это прибыль от использования оборудования к концу i -го года эксплуатации, t= , i = . Таким образом, если оборудование не продается, то прибыль от его использования – это разность между стоимостью произведенной продукции и эксплуатационными издержками. При замене оборудования прибыль составляет разность между остаточной стоимостью оборудования и стоимостью нового оборудования, к которой прибавляется разность между стоимостью продукции и эксплуатационными издержками для нового оборудования, возраст которого в начале i -го шага составляет 0 лет.

5. Определение функции изменения состояния

(9.7)

Таким образом, если оборудование не меняется х i =0, то возраст оборудования увеличивается на один год t +1, если же оборудование меняется х i =1, то оборудование будет годовалым.

6. Составление функционального уравнения для i =т

Верхняя строка функционального уравнения соответствует ситуации, при которой в последний год оборудование не меняется и предприятие получает выигрыш в размере разницы между выручкой r (t ) и годовыми затратами l (t ).

7. Составление основного функционального уравнения

где W i (t t лет с i -го шага (с конца i -го года) до конца периода эксплуатации;

W i + 1 (t ) – прибыль от использования оборудования возраста t+ 1год с (i +1)-го шага до конца периода эксплуатации.

Математическая модель задачи построена.

Пример

т =12, р= 10, с (t )=0, r (t ) – l (t )=φ (t ).

Значения φ (t ) даны в таблице 9.1.

Таблица 9.1.

Для данного примера функциональные уравнения будут иметь вид

Рассмотрим заполнение таблицы для нескольких шагов.

Условная оптимизация начинается с последнего 12-го шага. Для i =12 рассматриваются возможные состояния системы t= 0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 12-ом шаге имеет вид

1) t= 0 х 12 (0)=0.

2) t= 1 х 12 (1)=0.

10) t= 9 х 12 (9)=0.

11) t= 10 х 12 (10)=0; х 12 (10)=1.

13) t= 12 х 12 (12)=0; х 12 (12)=1.

Таким образом, на 12-ом шаге оборудование возраста 0 – 9 лет заменять не надо. Оборудование возраста 10 – 12 лет можно заменить или продолжить его эксплуатировать, так как для t= 10, 11, 12 имеется два условных оптимизационных управления 1 и 0.

По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i= 12.

Условная оптимизация 11-го шага.

Для i =11 рассматриваются все возможные состояния системы t =0, 1, 2, …, 12. Функциональное уравнение на 11-м шаге имеет вид

1) t= 0 х 11 (0)=0.

2) t= 1 х 11 (1)=0.

6) t= 5 х 11 (5)=0; х 11 (5)=1.

7) t= 6 х 11 (6)=1.

13) t= 12 х 11 (12)=1.

Таким образом на 11-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 4 года. Для оборудования возраста 5 лет возможны две стратегии использования: заменить или продолжать эксплуатировать.

Начиная с 6-го года оборудование следует заменять. По результатам расчетов заполняются два столбца таблицы 9.2, соответствующие i =11.

1) t= 0 х 10 (0)=0.

2) t= 1 х 10 (1)=0.

3) t= 2 х 10 (2)=0.

4) t= 3 х 10 (3)=0.

5) t= 4 х 10 (4)=1.

13) t= 12 х 10 (12)=1.

На 10-ом шаге не следует заменять оборудование возраста 0 – 3 года. Начиная с 4-го года, оборудование следует заменять, так как новое оборудование приносит бóльшую прибыль.

По результатам расчетов заполняются два столбца в 9.2, соответствующие i =10.

Аналогичным образом заполняются остальные девять столбцов таблицы 9.2. При расчетах W i + 1 (t ) на каждом шаге значения φ (t ) для каждого t =0, 1, 2, …, 12 берутся из таблицы 9.1 исходных данных, приведенной в условии задачи, а значения W i (t ) – из последнего, заполненного на предыдущем шаге столбца в 9.2.

Этап условной оптимизации заканчивается после заполнения таблицы 9.2.

Безусловная оптимизация начинается с первого шага.

Предположим, что на первом шаге i =1 имеется новое оборудование, возраст которого 0 лет.

Для t=t 1 =0 оптимальный выигрыш составляет W 1 (0)=82. Это значение соответствует максимальной прибыли от использования нового оборудования в течение 12 лет.

W*=W 1 (0)=82.

Выигрышу W 1 (0)=82 соответствует х 1 (0)=0.

Для i =2 по формуле (9.7) t 2 =t 1 +1=1.

Безусловное оптимальное управление х 2 (1)=0.

Для i =3 по формуле (9.7) t 3 =t 2 +1=2.

Безусловное оптимальное управление х 3 (2)=0.

В рамках данной задачи оптимальная стратегия заключается в замене оборудования при достижении им возраста 4-х лет. Аналогичным образом можно определить оптимальную стратегию использования оборудования любого возраста.

В левой колонке таблицы 9.2 записываются возможные случаи системы t = , в верхней строке – номера шагов i = . Для каждого шага определяются условные оптимальные управления х i (t ) и условный оптимальный выигрыш W i (t ) c i -го шага и до конца для оборудования возраста t лет.

Управления, составляющие оптимальную стратегию использования оборудования, выделены в таблице 9.2 жирным шрифтом.

Таблица 9.2.

Одной из важных экономических проблем является определение оптимальной стратегии замены старых станков, aipcraTOB и машин на новые. Старение оборудования означает его физический и моральный износ, в результате чего увеличиваются затраты на ремонт и обслуживание, возрастают производственные затраты по выпуску продукции, снижаются

производительность и ликвидная стоимость. Наступает время, когда старое оборудование выгоднее продать, заменить новым, чем эксплуатировать ценой больших затрат; причем его можно заменить новым оборудованием того же вида или новым, более совершенным. Оптимальная стратегия замены оборудования состоит в определении ее оптимальных сроков. Критерием оптимальности при этом может служить прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует оптимизировать, или суммарные затраты на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени, подлежащие минимизации.

Введем обозначения:

r(t) - ежегодные затраты на обслуживание оборудования возраста t лег;

g(t) - остаточная стоимость оборудования возраста t лег;

Р 0 - покупная цена оборудования.

Рассмотрим период N лет, в пределах которого требуется определить оптимальный цикл замены оборудования.

Обозначим через Л*(/) - оптимальные затраты, получаемые от

оборудования возраста t лет за оставшиеся N лет цикла использования оборудования при условии оптимальной стратегии.

Возраст оборудования отсчитывается в направлении течения процесса. Так, / = 0 соответствует случаю использования нового оборудования. На каждом этапе /V-стадийного процесса должно быть принято решение о сохранении, замене или проведении ремонта оборудования. Выбранный вариант должен обеспечивать получение минимизации суммарных затрат на эксплуатацию в течение рассматриваемого промежутка времени.

Предполагается, что переход от работы на оборудовании возраста t лег к работе на новом оборудовании совершается мгновенно, то есть замена старого оборудования и переход к работе на новом оборудовании укладываются в один период.

Пример 4.2

Оборудование эксплуатируется в течение пяти лет и после этого продается. В начале каждого года можно принять решение о сохранении оборудования или его замене новым. Стоимость нового оборудования Р 0 = 4000 руб. После t лет эксплуатации (1 g(t) = Р 0 2~‘ руб. (ликвидная стоимость). Затраты на содержание в течение года зависят от возраста оборудования t и равны r(t) = 600(/ + 1).

Определить оптимальную стратегию эксплуатации оборудования, чтобы суммарные затраты с учетом начальной покупки и заключительной продажи были минимальными.

Решение. Способ деления управления на шаги естественный - но годам, п = 5. Параметр состояния - возраст машины лу= t, ,v 0 = 0 - машина новая в начале первого года эксплуатации. Управление на каждом шаге зависит от двух переменных If и If.

Уравнения состояний зависят от управления:

Показатель эффективности А"-го шага:

(при If затраты только на эксплуатацию машины возраста t, при If машина продается (-4000 2~"), покупается новая (4000) и эксплуатируется в течение первого года (600), общие затраты равны (-4000 2 " + 4000 + 600)).

Пусть л’ (?) - условные оптимальные затраты на эксплуатацию машины, начиная с А"-го шага до конца, при условии, что к началу А"-го шага машина имеет возраст / лег. Запишем для функций Л"(г) уравнения Веллмана, заменив задачу максимизации задачей минимизации:

Величина 4000 2 0+11 - стоимость машины возраста t лет (по условию машина после пяти лет эксплуатации продается):

Из определения функций Л* (/) следует A min = Л*(0).

Представим геометрическое решение этой задачи. Отложим по оси абсцисс номер шага к, а по оси ординат - возраст машины /. Точка (к - 1, /) на плоскости соответствует началу А - -го года эксплуатации машины возраста / лет. Перемещение на графике в зависимости от принятого управления на /о-м шаге показано на рис. 4.3.

Рис. 4.3

Состояние начала эксплуатации машины соответствует точке,v‘(0, 0), конец - точкам.5(5,/). Любая траектория, переводящая точку ДА-1, /) из в.5, состоит из отрезков - шагов, соответствующих годам эксплуатации. Необходимо выбрать такую траекторию, при которой затраты на эксплуатацию машины окажутся минимальными.

Над каждым отрезком, соединяющим точки (А’ - 1, /) и (А, / + 1), записываются соответствующие управлению If затраты (600(/ + 1)), а над отрезком, соединяющим точки (к - 1, /) и (к , /), - затраты, соответствующие управлению If (4600 - 4000 2 "). Таким образом размещаются все отрезки, соединяющие точки на 1рафикс, соответствующие переходам из любого состояния лд_| в состояние s k (см. рис. 4.3).

Далее на размеченном фафе производится условная оптимизация. В состояниях (5, /) машина продается, условный оптимальный доход от продажи равен 4000 2~‘, но поскольку целевая функция связана с затратами, то в кружках точек (5, /) ставится величина дохода со знаком минус. Далее на последующих этапах выбираются минимальные затраты среди двух возможных переходов, записываются в кружок данной точки, а соответствующие управления на этом шаге помечаются пунктирной стрелкой. При этом на каждом шаге трафически решаются уравнения Веллмана (рис. 4.4).

После проведения условной оптимизации получим в точке (0, 0) минимальные затраты на эксплуатацию машины в тсченШ пяти лет с последующей продажей: A min = 11 900. Далее строится оптимальная траектория, перемещаясь из точки So(0, 0) по пунктирным стрелкам в.?. Получаем набор точек: {(0, 0), (1, 1), (2, 2), (3, 1), (4, 2), (5, 3)}, который соответствует оптимальному управлению U"(u c , U‘, U U c , U c). Оптимальный режим

эксплуатации состоит в том, чтобы заменить машину новой в начале третьего года.

Таким образом, размеченный график (сеть) позволяет наглядно интерпретировать расчетную схему и решить задачу методом динамического программирования.

Модели и вычислительные процедуры динамического программирования очень гибки в смысле возможностей включения различных модификаций задачи. Например, аналогичная задача может быть рассмотрена для большого числа вариантов управления, «ремонт», «капитальный ремонт» и г.д. Все эти факторы могут быть учтены вычислительной схемой динамического программирования.